Prueba relativa a la suma de los coeficientes binomiales

Question

¿Podría alguien proporcionar una prueba de la siguiente identidad?

$$ \sum_{n=0}^{N-1}\binom{N-1+n}{n}=\binom{2N-1}{N}$$

posiblemente utilizando la propiedad de la simetría y la regla de Pascal (u otra forma más sencilla):

$$\binom{a}{b}=\binom{a-1}{b-1}+\binom{a-1}{b}$$

Answer 1

Tenga en cuenta que $${2N-1 \choose N}$$ es el número de formas de elegir $N$ números distintos del conjunto $\{1,2,\ldots, 2N-1\}$ . Agrupa las posibilidades por la mayor de ellas $N$ números. Este número mayor es al menos $N$ . Para $k \in \{0, \ldots, N-1\}$ hay $${N - 1 + k \choose N-1}$$ casos en los que el mayor número es $N+k$ . Así que

$$ \sum_{k=0}^{N-1} {N-1+k \choose k} = \sum_{k=0}^{N-1} {N-1+k \choose N-1} = {2N-1 \choose N}.$$

Answer 2

$$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^N {N+k \choose N} &=& \sum_{k=0}^N {N-1+k \choose N-1} + \sum_{k=-1}^{N-1} {N+k \choose N} \\ &=& \sum_{k=0}^{N-1} {N-1+k \choose N-1} + \sum_{k=0}^N {N+k \choose N} + {2N-1 \choose N-1} - {2N \choose N} \end{eqnarray}$$

Así que

$$\begin{eqnarray} 0 &=& \sum_{k=0}^{N-1} {N-1+k \choose N-1} + {2N-1 \choose N-1} - {2N \choose N} \\ &=& \sum_{k=0}^{N-1} {N-1+k \choose N-1} - {2N - 1 \choose N} \end{eqnarray}$$