¿La inversión de un irrep equivale a la inversión del elemento de grupo correspondiente?

Question

Si $g\in G$ y $R:G\rightarrow GL\left(V\right)$ es la forma matricial de una representación irreducible de $G$ entonces, ¿es cierta la siguiente afirmación?

$R^{-1}\left(g\right)=R\left(g^{-1}\right)$

Donde el lado izquierdo corresponde a la inversión matricial de la irrep de $g$ y el lado derecho corresponde al irrep de la inversa de $g$ .

Answer 1

Supongo que quiere considerar $R(g)$ como una matriz en $GL_n(F)$ . Así que realmente estás diciendo que $R: G \to GL_n(F)$ . La cuestión ahora es si $R(g^{-1}) = R(g)^{-1}$ . Aquí $g^{-1}$ es la inversa en el grupo $G$ y $R(g)^{-1}$ es la inversa como matriz (por lo que la inversa en el grupo $GL_n(F)$ .

Recuerda que $R$ es un homomorfismo de grupo por definición. Así que efectivamente se tiene $$R(g^{-1}) = R(g)^{-1}.$$