Ecuación diferencial : $\frac{dy}{dx} -2xy = e^{x^2}$

Question

Mi compañero de estudio y yo estamos obteniendo respuestas diferentes para este caso.

Esta es la ecuación: $\frac{dy}{dx} -2xy = e^{x^2}$

Y mi solución

$P(x) = -2x \implies I(x)= e^{-x^2}$

$I(x)*\frac{dy}{dx} - 2xyI(x) = e^{x^2} I(x)$

$e^{-x^2}\frac{dy}{dx} - 2xye^{-x^2}$ = $e^{x^2}e^{-x^2}$

$\frac {d(-2yx)}{dx}=e^{x^2}e^{-x^2}$

Desde $e^{x^2} * e^{-x^2} = e^{0} = 1$

Por lo tanto, $-2yx = 1 + c$

Si estoy haciendo algo mal, por favor, muéstramelo. Gracias.

Answer 1

Empezando por su ecuación original $$\frac{dy}{dx}-2xy=e^{x^2}$$ Encontrar el factor de integración $$\mu(x) =e^{\int{-2xdx}} = e^{-x^2}$$ Multiplicando nuestro factor de integración a ambos lados de la ecuación $$\mu(x)\frac{dy}{dx}-2x\mu(x)y=e^{x^2}\mu(x)=e^{x^2}e^{-x^2}=1$$ El lado izquierdo de nuestra ecuación es sólo la derivada expandida de la regla del producto, por lo tanto: $$\frac{d}{dx}\left[\mu(x)y\right]=1$$ Integrando ambos lados con respecto a $x$ : $$\mu(x)y=x+C$$ Por último, hacemos un poco de álgebra para aislar $y$ y luego simplificar: $$y=\frac{1}{\mu(x)}(x+c)=e^{x^2}(x+C)=Ce^{x^2}+xe^{x^2}$$

Answer 2

Has hecho algo raro con tu factor de integración. Después de multiplicar la ecuación por el factor de integración tu ecuación debería haber sido $$\left(I(x)y\right)'=e^{x^2}I(x)$$ desde $I(x)\frac{dy}{dx}-2xyI(x)=(I(x)y)'$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 3

En la línea que aparece sobre la palabra "Desde", has dejado caer el factor integrador en el lado izquierdo. Dentro de la derivada debería haber un $e^{-x^2}.$