Solicitud de referencia para traducir de Top a C*-alg

Question

Algunas preguntas recientes sobre MO (por ejemplo, ¿Admiten las subálgebras de C(X) una descripción en términos del espacio compacto de Hausdorff X? ) han sido sobre la dualidad de Gelfand - es decir, que las categorías de espacios compactos de Hausdorff con mapas continuos, y unital conmutativo $\newcommand{\Cstar}{{\rm C}^*}\Cstar$ -con álgebras unitales $*$ -son antiequivalentes. Por tanto, se pueden "trasladar" las propiedades de los espacios compactos a $\Cstar$ -algebras. Esto puede conducir a una especie de "diccionario", véase por ejemplo la página 3 del libro de Várilly sobre geometría no conmutativa ( Enlace a Google Books ).

¿Alguien conoce una referencia razonablemente definitiva para pruebas de tales diccionarios, en forma autónoma?

Supongo que tal vez no exista tal cosa, ya que estos resultados son folclóricos (y son fáciles de demostrar en realidad -dado el enunciado, las pruebas a menudo forman bonitos ejercicios). Como en realidad sólo se estudian los espacios compactos a través de la categoría de espacios compactos con mapa continuo, ¿podría haber un libro de teoría de categorías que sea adecuado?

En realidad, me interesa más el caso no civil. En lugar de trabajar con mapas propios, quiero seguir a Woronowicz. Definir un "morfismo" entre $\Cstar$ -algebras $A$ y $B$ para ser un no-degenerado $*$ -homorfismo $\phi:A\rightarrow M(B)$ de $A$ al álgebra multiplicadora de $B$ donde "no degenerado" significa que $\{ \phi(a)b \mathbin{\colon} a\in A,b\in B \}$ es linealmente denso en $B$ . Entonces la categoría de los conmutativos $\Cstar$ -y morfismos es antiequivalente a la categoría de espacios localmente compactos y mapas continuos. Se puede entonces formar un diccionario similar - pero aquí creo que las pruebas pueden ser un poco más complicadas (o tal vez sólo utilizan topología ligeramente menos estándar).

¿Alguien conoce una referencia razonablemente definitiva en este ámbito más general?

Answer 1

Hagamos una lista aquí. Todos están invitados a añadir y completar la lista y las pruebas.

Lista

0) espacios de Hausdorff localmente compactos $\longleftrightarrow$ álgebras C* conmutativas

0') mapas continuos propios $\longleftrightarrow$ homomorfismos C* no degenerados $A\to B$

0'') Mapas continuos $\longleftrightarrow$ homomorfismos C* no generados $A\to M(B)$

1) compacto $\longleftrightarrow$ unital

1') $\sigma$ -compacto $\longleftrightarrow$ tiene una unidad contable aprox. ( $\iff$ tiene un elemento estrictamente positivo)

2) punto $\longleftrightarrow$ ideal máximo

3) incrustación cerrada $\longleftrightarrow$ ideal cerrado

4) inyección/rechazo $\longleftrightarrow$ inyección/surtido

5) homeomorfismo $\longleftrightarrow$ automorfismo

6) subconjunto clopen $\longleftrightarrow$ proyección

7) totalmente desconectado $\longleftrightarrow$ Álgebra AF (AF = aproximadamente de dimensión finita)

8) Compactación de un punto $\longleftrightarrow$ unitalización

9) Compactación de la piedra-cheque $\longleftrightarrow$ álgebra multiplicadora

10) Medida de Borel $\longleftrightarrow$ funcional positivo

11) medida de probabilidad $\longleftrightarrow$ estado

12) unión disjunta $\longleftrightarrow$ producto

13) producto $\longleftrightarrow$ producto tensorial completo

14) Teoría K topológica $K^0$ $\longleftrightarrow$ teoría K algebraica $K_0$

15) segundo contable $\longleftrightarrow$ separable respecto a la norma C*

Pruebas

0),1),2),3),5) se derivan directamente de la dualidad de Gelfand - los detalles se pueden encontrar, por ejemplo, en el libro de Murphey sobre las álgebras C*. Para 0'), véase aquí (He escrito esto porque no conocía ninguna referencia). Un homorfismo C* $A \to B$ es no degenerado si el ideal generado por la imagen es denso. Para 4) véase aquí . 6) viene dada por las funciones características. Una referencia para 7) es Kenneth R. Davidson, C*-Algebras por ejemplo, Teorema III.2.5. Está relacionada con 6) porque una álgebra C* conmutativa es AF si es separable y topológicamente generada por las proyecciones. 8) se deduce del sinsentido abstracto y de 1). 9) ?. 10) es el Teorema de la representación de Riesz. 11) se deduce de 10). 12) afirma $C_0(X \coprod Y) = C_0(X) \times C_0(Y)$ que es trivial. 13) afirma que el mapa canónico $C_0(X) \hat{\otimes} C_0(Y) \to C_0(X \times Y)$ es un isomorfismo - esto se deduce del Teorema de Stone-Weierstraß. 14) es el teorema de Serre-Swan.

Answer 2

Gert Pedersen escribió "En un momento de descuido, un algebrista de C* podría decir que existe un functor covariante entre las categorías de C*-álgebras conmutativas con morfismos y la categoría de espacios Hausdorff localmente compactos con mapas continuos". (Morfismos de extensiones de C*-Álgebras: Pushing Forward the Busby Invariant, por Eilers me y Pedersen).

Cualquiera de estas correspondencias es válida:

• mapas continuos adecuados $\leftrightarrow$ homorfismos adecuados de A a B

• mapas continuos $\leftrightarrow$ homomorfismos no degenerados de A a M(B).

El ejercicio de la página 44 de Wegge-Olsen es erróneo. Este conjunto de la discusión a continuación.

Answer 3

Para el 9 tengo que decir que tampoco he visto nunca una prueba directa, pero creo recordar algunas pistas en Wegge-Olsen (en ejercicios de 'traducción'); no puedo garantizar que no sea el habitual argumento functorial duro...