Aplicando el criterio secuencial de los límites funcionales para demostrar el teorema del apretón

Question

Aplicando el criterio secuencial de los límites funcionales para demostrar el teorema del apretón: Sea $f,g,h$ sean funciones sobre un dominio común $A \subset \mathbb{R}$ tal que para cada $x \in A$ , $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ . Si $c$ es un punto límite de $A$ con $$\lim_{x \rightarrow c}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow c}{g(x)}=L$$ entonces $\lim_{x \rightarrow c}{g(x)}$ existe y $$\lim_{x \rightarrow c}{g(x)}=L$$ ¿Puede alguien orientarme? No sé cómo utilizar el criterio secuencial para probar esto.

Answer 1

Usted sabe que $$f(x)\leq g(x) \leq h(x)$$ Así que $$\lim_{x\to c} f(x) \leq \liminf_{x\to c} g(x)\leq \limsup_{x\to c} g(x) \leq \lim_{x\to c} h(x)$$ así que $$L \leq \lim_{x\to c} g(x) \leq L$$ Utilizas al principio el limsup y el liminf ya que el lim no necesita existir (estás demostrando que existe) pero el limsup y el liminf siempre existen (cuando permites $\pm \infty$ )