¿Define lo siguiente un punto de la curva modular $X_1(n)$

Question

Dejemos que $X$ sea una superficie de Riemann compacta y conectada de género $1$ y supongamos que existe un morfismo finito $X\to \mathbf{P}^1$ de grado $n$ que se ramifica totalmente sobre $0$ y $\infty$ . Sea $f^{-1}(0)$ sea el "origen".

Q. ¿Es el punto $f^{-1}(\infty)$ de orden $n$ ?

Si es así, ¿he entendido bien que la curva elíptica $E=(X,f^{-1}(0))$ con el punto $f^{-1}(\infty)$ define un punto de la curva modular $X_1(n)$ ?

Answer 1

Dejemos que $O$ sea la preimagen de $0$ y que $P$ sea la preimagen de $\infty$ . Entonces su hipótesis es que $\text{div}(f) = n(P - O)$ y por lo tanto eso, efectivamente, $P$ es una cuestión de orden $n$ en $X$ cuando se toma $O$ para ser el origen.

Así, $(X,P)$ define un punto en $X_1(n)$ .