Sobre los conjuntos de generadores de $\mathbb Q$ como $\mathbb Z$ -Módulo

Question

Dejemos que $G$ sea el grupo cociente $\mathbb Q/\mathbb Z$ . Es fácil demostrar lo siguiente:

Si $\mathcal C$ es un conjunto de generadores de $G$ (como $\mathbb Z$ -) y $x\in\mathcal C$ entonces $\mathcal C\setminus\{x\}$ también genera $G$ .

De hecho, dejemos que $x=\overline{m/n}\,.$ Si $\ \overline{1/n^2}=\sum_{c\in\mathcal C}a_cc$ con $a_c\in\mathbb Z$ entonces $x=mn\,\overline{1/n^2}=mn(a_xx+\sum_{c\in\mathcal C\setminus\{x\}}a_cc)=\sum_{c\in\mathcal C\setminus\{x\}}a_cmnc$ (porque $nx=0$ ).

El mismo método de prueba se puede intentar para obtener un resultado similar para $\mathbb Q$ en lugar de $G$ Sin embargo, en algún momento me quedo atascado:

Dejemos que $\mathcal C$ sea un conjunto de generadores de $\mathbb Q$ como $\mathbb Z$ -y que $x\in\mathcal C$ , digamos que $x=m/n$ . Tenemos $1/n^2=\sum_{c\in\mathcal C}a_cc$ con $a_c\in\mathbb Z$ Así que $x=mn(1/n^2)=mn(a_xx+\sum_{c\in\mathcal C\setminus\{x\}}a_cc)=a_xm^2+\sum_{c\in\mathcal C\setminus\{x\}}a_cmnc$ .

Si $x\ne1$ y $1\in\mathcal C$ Hemos terminado; de lo contrario, no puedo imaginar cómo circunvalar este caso excepcional. ¿Podemos eliminar cualquier generador siempre, o hay excepciones?

Answer 1

Podemos eliminar cualquier generador individual, sí.

En cualquier grupo $G$ , un elemento $x\in G$ se llama no generador si se puede eliminar con seguridad de cualquier grupo electrógeno. El conjunto de todos los no generadores es en realidad un subgrupo, llamado Subgrupo Frattini y es la intersección de todos los subgrupos máximos de $G$ .

Aquí se entiende que si $G$ tiene no hay subgrupos máximos entonces el subgrupo Frattini es $G$ mismo. Debe poder demostrar que $(\mathbb{Q},+)$ no tiene subgrupos máximos y, por lo tanto, cada elemento que incluye $1$ es un no generador.

Answer 2

He conseguido resolver mi problema, aunque la solución es algo "enrevesada". Cualquier solución más directa será bienvenida. Hasta entonces, voy a de mala gana aceptar mi propia respuesta ;-).

Dejemos que $\mathcal C$ sea un conjunto de generadores de $\mathbb Q$ como $\mathbb Z$ -módulo. Sea $x\in\mathcal C$ y que $\mathcal C'=\mathcal C\setminus\{x\}$ . Tenemos $x/2=ax+s$ con $a\in\mathbb Z$ y $s\in\langle\mathcal C'\rangle$ Así que $(1-2a)x\in\langle\mathcal C'\rangle$ . Ahora $x/(1-2a)=bx+t$ con $b\in\mathbb Z$ y $t\in\langle\mathcal C'\rangle$ Por lo tanto $x=b(1-2a)x+(1-2a)t\in\langle\mathcal C'\rangle$ , según se desee.