Pregunta sobre el modelo de población cúbico

Question

Tenga el siguiente modelo de población, $$ \frac {dN}{dt}= cN(N-k)(1-N)$$

La primera etapa de la pregunta es investigar los estados estables, sin embargo estoy un poco atascado en encontrar la solución a la ecuación diferencial dada nuestra condición inicial $N(0)=2$ y asumiendo que $c=1$ y $k=0.5$ ,

$$\int \frac {1}{N(N-0.5)(1-N)} dN = \int \left(\frac {-2}{N}+\frac{4}{N-0.5}+\frac{2}{1-N}\right) dN = \int dt$$

$$\displaylines{\Rightarrow -2\log(N)+4\log(N-0.5)-2\log(1-N)=t+{\rm constant} \Rightarrow \log \frac{2(N-0.5)}{N(1-n)}= t+c\cr \Rightarrow \frac{2(N-0.5)}{N(1-N)}=Ae^{t}\cr}$$

Ahora hay un consejo en la parte inferior de la pregunta decir considerar una sustitución de $k=N-0.5$ .

$\Rightarrow$ $\frac{2(k)}{k+0.5(0.5-k)}$ = $Ae^{t}$ $\Rightarrow$ $8k+4k^{2}Ae^{t}=Ae^{t}$

Por lo tanto debo haberme equivocado en alguna parte, cualquier ayuda sería muy apreciada, muchas gracias.

Answer 1

Los estados estables se producen cuando $\frac{dN}{dt}=0$ . Esto ocurre por $N=0$ , $N=k=0.5$ y $N=1$ .

Para $N=2$ , $\frac{dN}{dt}=-3$ . De hecho, para todos los $N>1$ , $\frac{dN}{dt}$ es negativo. $N(t)$ se acercará $1$ como $t\to\infty$ .

Para encontrar una solución explícita, tal y como has calculado $\frac{2(N-0.5)}{N(1-N)}=A\,\mathrm{e}^t$ . Esto equivale a $$(A\,\mathrm{e}^t)N^2+(2-A\,\mathrm{e}^t)N-1=0$$ A partir de esto podemos resolver para $N$ : $$ \begin{align} N&=\frac{(A\,\mathrm{e}^t-2)\pm\sqrt{(2-A\,\mathrm{e}^t)^2+4(A\,\mathrm{e}^t)}}{2(A\,\mathrm{e}^t)}\\ &=\frac{(A\,\mathrm{e}^t-2)\pm\sqrt{4+A^2\mathrm{e}^{2t}}}{2(A\,\mathrm{e}^t)}\\ \end{align}$$ La ecuación anterior $\frac{2(N-0.5)}{N(1-N)}=A\,\mathrm{e}^t$ resolvamos para $A$ cuando consideramos el tiempo $t=0$ : $A=-1.5$ . $$ \begin{align} N&=\frac{-1.5\,\mathrm{e}^t-2\pm\sqrt{4+2.25\mathrm{e}^{2t}}}{-3\mathrm{e}^t}\\ \end{align}$$ La solución donde $+$ se utiliza en lugar de $-$ da lugar a una solución en la que $N(0)\neq2$ Así que $$ \begin{align} N(t)&=\frac{-1.5\mathrm{e}^t-2-\sqrt{4+2.25\mathrm{e}^{2t}}}{-3\mathrm{e}^t}\\ &=\frac{1.5\mathrm{e}^t+2+\sqrt{4+2.25\mathrm{e}^{2t}}}{3\mathrm{e}^t}\\ \end{align} $$