Mostrar que $f(x) = x\cos^3(x)$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$

Question

Mostrar que $f(x) = x\cos^3(x)$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$.

Traté de $x_n = \pi/2 + n\pi$ y $y_n = \pi/2 + n\pi + 1/(n\pi)$.

Desde $\cos^3(x) = \frac14 (\cos(3x)+3\cos x)$, $f(x_n) = 0$ %. Así, $$\left|\frac34(\pi/2 + n\pi + 1/(n\pi))\cos(\pi/2 + n\pi + 1/(n\pi)) + \frac14(\pi/2 + n\pi + 1/(n\pi))\cos(3\pi/2 + n\pi + 1/(n\pi))\right| > \frac12|(\pi/2 + n\pi + 1/(n\pi))\sin(1/(n\pi))| > \frac12 n \pi\sin(1/(n\pi)) \to \frac12$ $ por lo que no es uniformemente continua.

¿Es esto correcto?

Answer 1

La producción de dos de las secuencias de $(x_n)_{n\geq1}$ $(y_n)_{n\geq1}$ $y_n-x_n\to0$ $|f(y_n)-f(x_n)|\geq\epsilon_0$ es una buena idea, en principio. Pero me temo que hay algún error en sus cálculos. Tenga en cuenta que $$f'(x)=\cos^2 x(\cos x -3x\sin x)$$ es muy pequeño cerca de los impares múltiplos de ${\pi\over2}$. Por lo tanto, será difícil detectar grandes diferencias $|f(y_n)-f(x_n)|$, en el barrio de dichos puntos. Pero en los impares múltiplos de ${\pi\over4}$ el derivado $|f'(x)|$ tiene un orden de magnitud de $|x|$. El valor medio teorema, a continuación, debe permitir que usted para demostrar que se puede lograr la $|f(y)-f(x)|\geq1$ adecuadamente los puntos seleccionados $x$, $y$ arbitrariamente cerca el uno del otro.