Se me ocurre una forma de hacerlo: Los monotonos son Borel, y como un subconjunto contable de $\mathbb{R}$ es una unión contable de monotonos, el subconjunto contable es Borel.
¿Hay alguna manera de demostrar esto sin usar el hecho de que los singletons son Borel?
El hecho de que los singletons son Borel da una prueba inmediata de este hecho. Esto sugiere que el hecho de que los singletons sean Borel está muy relacionado con el hecho, y por lo tanto cualquier prueba que evite usar que los singletons son Borel podría sentirse como un "disfraz".
Pero supongamos que hemos olvidado que los singletons son Borel. Entonces, utilizando la Ley de De Morgan, ya que un subconjunto contable de $\mathbb{R}$ es una unión contable de monotonos, el complemento del subconjunto contable es una intersección contable de intervalos abiertos. Como los intervalos abiertos son el conjunto de Borel prototípico, y los conjuntos de Borel se conservan bajo la unión contable y los complementos relativos, vemos que una unión contable de monotonos es de Borel. $\diamondsuit$
Pero puedes notar que lo que realmente hicimos fue replicar una prueba de que los singletons son Borel. Así es.
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