Encontrando $[T]_B$ dada la construcción inductiva de $B$ utilizando $T$ .

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita, y sea $0\neq v\in V$ .

Dejemos que $T\in\text{Hom}(V,V)$ y construir una base $B$ con la siguiente regla:

$v_1=v$ y para $i=2,\dots k$ , $v_i=T^{i-1}v$ .

Dado $T^k=I$ , encontrar $[T]_B$ .

No tengo ni idea de qué hacer. He podido demostrar que $Tv_i=T^iv$ para todos $i=1,\dots n$ Así que $[Tv_i]_B=[T]_B^i[v]_B$ pero eso no ayuda realmente. Supongo que deberíamos concluir algo sobre $T$ de $B$ siendo una base, pero ¿qué podemos concluir?

Gracias de antemano.

Answer 1

Suponiendo que $B=\{v_1,\ldots,v_k\}=\{T^i(v):i=0,1,\ldots,k-1\}$ es una base de $V$ entonces tenemos que las columnas de $A=[T]_B$ son las representaciones de los vectores $T(v_1),\ldots,T(v_k)$ en la base $B$ . Fíjate que:

\begin{align*} T(v_1)=v_2 &\Rightarrow [T(v_1)]_B=(0,1,0,\ldots,0,0)\\ T(v_2)=v_3 &\Rightarrow [T(v_2)]_B=(0,0,1,\ldots,0,0)\\ \vdots & \hspace{1cm}\vdots \hspace{1cm}\vdots\\ T(v_{k-1})=v_k &\Rightarrow [T(v_{k-1}]_B=(0,0,\ldots,1,0)\\ T(v_k)=v_1 &\Rightarrow [T(v_k)]_B=(1,0,0\ldots,0,0) \end{align*}

Por lo tanto,

\begin{align*} [T]_B&=\big[ [T(v_1)]_B \big| [T(v_2)]_B \big| \cdots \big| [T(v_{k-1})]_B \big| [T(v_k)]_B \big]\\ &=\begin{bmatrix}0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & \ddots & 0 & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots& \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \end{align*}