¿Puede alguien explicar cómo $$|\sinh \varphi|T_1(s)=T(s)+ \cosh\varphi\cdot u$$ implica $$\sinh^2 \varphi \kappa_1(s)N_1(s)=\kappa(s)N(s),$$ donde $\varphi$ y $u$ son constantes, $T_1$ y $T$ son vectores tangentes de la curva $c_1,$ resp. $c,$ $N_1$ y $N$ vectores normales y $\kappa$ ¿su curvatura? Ambas curvas están parametrizadas con el parámetro de longitud de arco.
Respuesta
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Tal vez sea mejor volver al principio de la pregunta. Tal como está, el problema no tiene sentido, a menos que sepamos que $u\cdot T = -\text{sech}\,\phi$ .
Si estoy en lo cierto, estamos viendo la curva $c_1$ dado por $$c_1(s) = c(s) + (\cosh \phi)s u.$$ Entonces podemos tener $T_1$ sea el vector tangente unitario de $c_1$ pero $c_1$ no está parametrizado por la longitud de onda. De hecho, la velocidad de $c_1$ será $|\sinh\phi|$ y hay que utilizar la corrección de la regla de la cadena para calcular que $T_1'(s) = \upsilon(s)\kappa_1(s) N_1(s)$ , donde $\upsilon(s)=|\sinh\phi|$ es la velocidad de $c_1$ . Esto le da $$|\sinh\phi|\kappa_1 N_1 |\sinh\phi| = \kappa N,$$ según sea necesario.
(Para la discusión de la corrección de la regla de la cadena de las curvas parametrizadas sin longitudes de onda, véanse las páginas 12-14 de mi texto de geometría diferencial .)
