Consideremos un sistema de la forma \begin{equation} \Sigma\colon\ \dot{x}=f(x), \end{equation} donde $x\in \mathbb{R}^n$ y $f\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ es una función suficientemente suave que desaparece en el origen. Supongamos que $\Sigma$ tiene un globalmente estable de forma exponencial equilibrio en $x=0$ . Ahora aplique una transformación global de coordenadas \begin{equation} z=T(x), \end{equation} donde $T\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ , $T(0)=0$ es un global $\mathcal{C}^1$ difeomorfismo. En consecuencia, obtenemos el sistema transformado \begin{equation} \Sigma^\prime \colon\ \dot{z}=g(z):=\frac{\partial T(x)}{\partial x}f(x)\bigg|_{x=T^{-1}(z)}. \end{equation} Pregunta: Es $\Sigma^\prime$ globalmente estable de forma exponencial a $z=0$ ?
Respuesta
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Sí, lo es. Además, dejemos que $x(t)$ y $y(t) = \Phi(x(t))$ sean soluciones de los sistemas $$ \dot{x}=f(x,t), \quad x\in\Omega\subseteq\mathbb{R}^n, $$ y $$ \dot{y}=h(y,t), \quad y\in\Phi(\Omega)\subseteq\mathbb{R}^n, $$ respectivamente (el segundo sistema es el primero transformado, $\quad y=\Phi(x)$ es un difeomorfismo); supongamos que la solución $y(t)$ es acotada y exponencialmente estable; finalmente, existe una $\epsilon>0$ de tal manera que un $\epsilon$ -de cualquier punto de $y(t)$ es un subconjunto de $\Phi(\Omega)$ . Entonces la solución $x(t)$ es exponencialmente estable.
La prueba de este hecho se encuentra en https://link.springer.com/article/10.1134/S0012266107110043
Actualización: La idea principal de la (simplificada, para un punto de equilibrio y para $\Omega=\Phi(\Omega)=\mathbb R^n$ ) la prueba es la siguiente. Sea la solución cero del sistema $$\tag{1} \dot y= g(y),\quad g(0)=0 $$ ser exponencialmente estable. Significa, por definición, que existe $\delta>0$ tal que $\forall y_0 \in D_{\delta}=\{y:\; \|y\|< \delta\}$ la solución del problema de valor inicial $$ \dot y= g(y),\quad y(0)=y_0 $$ satisface $$\tag{2} \|y(t)\|\le M e^{-\gamma (t-t_0)}\|y_0\|, $$ donde $M$ y $\gamma$ son algunas constantes positivas.
Dejemos que $\Phi(x)$ sea un difeomorfismo, $\Phi(0)=0$ . Desde $\Phi$ es un difeomorfismo y, en consecuencia, $\Phi^{-1}$ es también un difeomorfismo, cumplen la propiedad Lipschitz $$\tag{3} \|\Phi(x_1)-\Phi(x_2)\|\le L \|x_1-x_2\| $$ para cualquier $x_1,x_2\in \Phi^{-1}\left(D_{\delta}\right)$ y, respectivamente, $$\tag{4} \|\Phi^{-1}(y_1)-\Phi^{-1}(y_2)\|\le L' \|y_1-y_2\| $$ para cualquier $y_1,y_2\in D_{\delta}$ , donde $L$ , $L'$ son algunas constantes.
Ahora se pueden combinar (2), (3) y (4) y obtener $\forall x_0 \in \Phi^{-1}\left(D_{\delta}\right)$ , $y(t)=\Phi(x(t))$ , $y_0=\Phi(x_0)$ $$\tag{5} \|x(t)\|=\|x(t)-0\|=\| \Phi^{-1}\left(y(t)\right)-\Phi^{-1}(0) \|\le L' \|y(t)-0\| $$ $$ \le L' M e^{-\gamma (t-t_0)}\|y_0\|= L' M e^{-\gamma (t-t_0)}\|\Phi(x_0)-\Phi(0)\|\le L' M L e^{-\gamma (t-t_0)}\|x_0\| $$ Así, la solución cero del sistema en variables $x$ es exponencialmente estable.
En cuanto a la estabilidad exponencial global, pues (3) y (4) no se satisfacen, en general, en $\mathbb R^n$ para un difeomorfismo arbitrario; pero si las soluciones $x(t)$ y $y(t)$ están contenidas en algunos conjuntos compactos (lo cual es un caso común para los problemas de teoría de control), entonces se pueden determinar las constantes $L$ y $L'$ y establecer (5).
