¿Cómo puedo saber si un formulario representa una clase de cohomología integral?

Question

Supongamos $M$ $n$- dimensiones del colector, y $\omega \in \Omega^p(M)$ es un cerrado $p$-forma. Por otra parte, asumir que $d\omega = 0$, lo que representa una de Rham cohomology de la clase.

Me gustaría entender el significado de la siguiente frase que leí en un libro sobre geométricas cuantificación: $\omega$ representa una integral cohomology de la clase.

Aquí es lo que yo pensaba: tenemos la Poincaré isomorfismo $\Phi : H_{dR}^p(M) \rightarrow {_{\infty}H_p}(M, \mathbb{R})^*$, donde:

$$H_{dR}^p(M) = \text{$p$th de Rham cohomology group;}$$ $${_{\infty}H_p}(M, \mathbb{R}) = \text{$p$th differentiable singular cohomology group;}$$

y la estrella que indica el doble. Este isomorfismo es dada por la integración de la forma respecto de la correspondiente a $p$-ciclo.

Ahora, ya tenemos una inclusión natural ${_{\infty}H_p}(M, \mathbb{Z}) \subseteq {_{\infty}H_p}(M, \mathbb{R})$, se podría decir que el $\omega \in \Omega^p(M)$ representa una integral cohomology de la clase de al $\Phi(\omega) \in {_{\infty}H_p}(M, \mathbb{Z})$. Pero esto es básicamente decir que la integral de $\omega$ sobre cualquier diferenciable $p$-ciclo es un número entero. Seguramente este no puede sostener, salvo casos triviales. Entonces, ¿qué significa para representar una integral cohomology de clase?

También me gustaría saber: ¿cuándo la forma de volumen de un colector cerrado representa una integral cohomology de clase, y por qué?

Gracias.

Answer 1

Con respecto a tu última pregunta, estás en un buen camino para los ejemplos. Seguir a @Qiaochu del primer ejemplo, hemos cerrado el $2$forma $\omega$ que genera $H^2(\mathbb R^3-\{0\}) \cong H^2(S^2)$:

$$\omega = \frac{x\,dy\wedge dz + y\, dz\wedge dx + z\, dx\wedge dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,.$$

Esto debe parecer familiar si lo interpretamos como el flujo de $2$-forma de la gravitatorio o eléctrico de la fuerza con la que una partícula en el origen y pensar de Gauss la Ley. Tal y como está, esta $2$-formulario no es integral, ya que la integral sobre cualquier superficie cerrada que contiene el origen, es decir, la unidad de la esfera, se $4\pi$. Pero podemos normalizar y obtener un integrante de la clase: $\frac1{4\pi}\omega$ es ahora el generador de $H^2(S^2,\mathbb Z)$.

Usted puede hacer este trabajo de forma análoga al normalizar "la" forma de volumen para cualquier compacto, orientable $n$-colector.

Sin embargo, uno de @Qiaochu afirmaciones es incorrecta. Si tomamos $M=S^2(1)\times S^2(\pi)$ (donde por estos números me refiero a los radios), a continuación, el elemento de $H^2(M)$ que corresponde a la suma de la zona respectiva formas (oficialmente, empujado hacia atrás por la canónica proyecciones) no es una parte integral de la clase, y no escalar varias de es (porque $H^2(M)\cong \mathbb R\oplus\mathbb R$).

Answer 2

En $M = \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0, 0) \}$ considera el diferencial de la forma

$$\omega = \frac{1}{2\pi} \frac{x \, dy - y \, dx}{x^2 + y^2}.$$

Este es un cerrado $1$-forma. Su integral sobre un camino de $M$ es su liquidación número; en particular, es siempre un número entero.

Para ejemplos no triviales de la integral de la $2$-los formularios que usted sólo tiene que encontrar ejemplos de trivial complejo de la línea de paquetes. Más precisamente, de cualquier forma es la curvatura de la forma de una conexión en un complejo paquete de $L$, y la correspondiente integral cohomology de la clase es la primera clase de Chern $c_1(L)$ $L$ . Este es un caso especial de Chern-Weil teoría. Este ejemplo viene en la física cuando se habla de Dirac de cuantización del argumento; véase, por ejemplo, este papel por Bott.