¿Qué es una explicación geométrica de la integración compleja en lenguaje sencillo?

Question

Estoy tratando de entender la integración compleja y las integrales de línea complejas. La integración real se puede considerar como el área bajo una curva o lo contrario de la diferenciación. Pensar en ella geométricamente como el área bajo una curva o el volumen bajo una superficie en 3 dimensiones es muy intuitivo.

1. Entonces, ¿hay una forma geométrica de pensar en la integración compleja? ¿O debería considerarla simplemente como un proceso que invierte la diferenciación? ¿O tiene la integración otros significados en el análisis complejo?

2. He aquí un ejemplo. ¿Podría alguien explicarme esto? Aquí está la definición de la integral a lo largo de una curva gamma en $\mathbb{C}$ parametrizado por $w(t):[a, b] \to \mathbb{C}$ .

$$\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z = \int_a^b f[w(t)] w'(t) \mathrm{d}t$$

Así que tengo eso:

• $\gamma$ es el círculo unitario con orientación antihoraria parametrizado por $w:[0, 2\pi] \to \mathbb{C}$ .

• $w(t) = e^{it} = \cos(t) + i \sin(t)$ .

Así que si usamos la definición de la integral,

$$\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z = \int^b_a f[w(t)]w'(t) \mathrm{d}t$$

y trabajar en esto, se llega a

$$\int^{2\pi}_0 i \mathrm{d}t = 2{\pi}i$$

Entonces, ¿qué hace esto $2{\pi}i$ representar? ¿Significa algo geométrico, como que si una integral regular resulta ser 10 significa que el área bajo la curva entre 2 puntos es 10?

Answer 1

En todos los libros o cursos en los que aparecen integrales de línea (en física, análisis complejo, geometría, $\ldots$ ) la gente intenta explicar con muchas palabras (¡en inglés!) lo que es una integral de línea. No siempre es lo mismo y tiene varias formas. Como regla general se puede decir lo siguiente:

Una integral de línea es una función que asigna a cualquier campo (escalar real, escalar complejo, vectorial) $f$ en un dominio $\Omega$ y cualquier curva (dirigida) $\gamma\subset\Omega$ un valor determinado $v$ , denotado por $$\int_\gamma f(x)* dx$$ (o similar). Esta regla debe tener las siguientes propiedades; la primera da la intuición geométrica o física que hay detrás $v$ :

1. Cuando $f$ es constante y $\gamma$ es el segmento con punto inicial $x_0$ y el punto final $x_1$ entonces $v=f*(x_1-x_0)$ .

2. El valor $v$ es independiente de la parametrización elegida de $\gamma$ .

3. Cuando $\gamma=\gamma_1+\gamma_2$ de manera obvia entonces $$\int_\gamma f(x)* dx =\int_{\gamma_1} f(x)* dx +\int_{\gamma_2} f(x)* dx\ .$$

4. Cuando $f$ y $g$ son dos de estos campos, entonces $$\int (f+g)*dx=\int_\gamma f*dx +\int_\gamma g*dx\ ,\qquad \int_\gamma (\lambda f)* dx=\lambda\int_\gamma f*dx\ .$$

Aquí $*$ denota cualquier multiplicación que tenga sentido en la situación real, y $dx$ también podría ser $|dx|$ en ciertos casos.

Answer 2

Una buena intuición podría ser pensar en una integral como una especie de "valor medio" en lugar de un volumen: El valor $\int_0^1 f(x)dx$ es el "valor medio de la función $f$ en el intervalo $[0,1]$ ". (Recurriendo de nuevo al área: Para las zonas no negativas $f$ el área bajo la gráfica de $f$ es igual al rectángulo con anchura 1 y altura $\int_0^1 f(x)dx$ .)

De forma vaga, algo similar ocurre con una integral de línea compleja: La integral es "el valor medio de $f$ a lo largo de la curva $\gamma$ Sin embargo, tomando las direcciones infinitesimales de $\gamma$ en cuenta".

Otra forma de ver las integrales complejas es como integral de un campo vectorial real de 2 dimensiones (dado por la función de valor complejo $f$ ) a lo largo de trayectorias en 2 dimensiones (dadas por $\gamma$ ). La intuición es básicamente la misma que la de los "valores medios", pero aquí se podría pensar además en "velocidades medias" o "direcciones medias". Físicamente, el campo vectorial describe una fuerza que actúa sobre una partícula y la trayectoria describe el movimiento de la partícula. La integral corresponde a la "fuerza media que actúa sobre la partícula durante el movimiento".