La ecuación $x^3+7x^2+1+ixe^{-x}=0$ no tiene una solución real.

Question

La ecuación $x^3+7x^2+1+ixe^{-x}=0$ (donde $i=\sqrt(-1)$ ) tiene

1) no hay solución real.

2) exactamente una solución real.

3) exactamente dos soluciones reales.

4) exactamente tres soluciones reales.

Sabemos que el polinomio de grado impar tiene al menos un cero real pero la ecuación anterior no es polinómica. Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

$$x^3+7x^2+1=-ixe^{−x}$$ Evidentemente, si $x\neq0$ es real, el RHS es imaginario, mientras que el LHS es real, una contradicción. $x$ no puede ser cero por simple observación, por lo que podemos decir con seguridad que no hay soluciones reales.

Answer 2

Si esta ecuación tuviera una solución real $x \in \mathbb{R}$ entonces $$x^3 + 7x^2 + 1 +ix e^{-x} = 0$$ y $x^3 + 7x^2 + 1= 0$ y $x e^{-x}=0$ . De la segunda ecuación, vemos que $x=0$ pero esto no verifica la primera, por lo que la ecuación $$x^3 + 7x^2 + 1 +ix e^{-x} = 0$$ no tiene una solución real.

Answer 3

Si $x\in\mathbb{R}$ satisface $x^3+7x^2+1+ixe^{-x}=0$ entonces

$\left\{ \begin{array}{} x^3+7x^2+1=0\\ xe^{-x}=0 \end{array}\right. $

La segunda igualdad implica que $x=0$ pero $0$ no es una solución para la primera igualdad. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución real.