¿Pueden existir los números fuera del espacio numérico?

Question

No estaba seguro de cómo escribir la pregunta.

Sé que en el eje de los números reales tenemos los naturales, los enteros, los racionales, los irracionales y los reales; y en el eje de los números imaginarios tenemos los números imaginarios, formando juntos el plano de los números complejos. También sé que añadiendo dimensiones a ese plano podemos tener números de dimensión $2^n$ (cuaterniones, octoniones, etc).

Lo que quiero saber es: ¿Hay más números fuera de eso? ¿Se ha creado alguna vez un tipo de números desde cero sólo para satisfacer o demostrar una determinada propiedad, aunque no se utilicen fuera de ella? ¿Hay números que no son números según la definición anterior?

Cualquier referencia o enlace a listas de tipos de números distintos a los que he mencionado sería muy apreciado.

Answer 1

También están los $p$ -número de radicales . Surgen al completar $\mathbb{Q}$ con respecto a la $p$ -ádica, que se basa en la divisibilidad.

Answer 2

Depende de lo que entiendas por "número". Si te refieres a un sistema numérico sobre el que podamos realizar las operaciones a las que estamos acostumbrados, es decir, la división, sólo podemos tener 3 álgebras asociativas de división finitas sobre los números reales, $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ y $\mathbb{H}$ como lo demuestra Frobenius .

Un álgebra es un espacio vectorial dotado de un producto bilineal (en términos de Layman, un espacio donde tenemos vectores y podemos multiplicar números), por lo que un álgebra de división real es un álgebra sobre los reales donde podemos realizar la división.

Pero cuanto más relajemos estos axiomas, más sistemas numéricos podremos tener. Si renunciamos a la asociatividad, podemos tener octoniones, y si renunciamos a la división, hay sedeniones. También tenemos Álgebras M, hipernúmeros museanos .

En definitiva, podemos inventar lo que queramos dejando de lado más y más axiomas de nuestro campo, pero a medida que lo hacemos, el sistema numérico que hacemos se vuelve cada vez menos útil y bien definido.

Answer 3

Hay objetos llamados supernúmeros que se forman a partir de una serie infinita de generadores de Grassmann. Generalmente $z = z_o + z_i \eta^i + z_{ij}\eta^i\eta^j + \cdots$ donde $\eta_i \eta_j = -\eta_j \eta_i$ y $z_I \in \mathbb{C}$ . Si se sustituyen los números por supernúmeros, se obtiene una supermatemática que puede utilizarse para establecer supercampos. Es un posible formalismo para establecer la física supersimétrica y/o las teorías de campo clásicas en las que se necesitan variables anticonmutación para el formalismo de la integral de trayectoria. Dicho esto, hay otros enfoques en los que la modificación de las matemáticas se realiza mediante argumentos teóricos de gavilla... En cualquier caso, lo que quiero decir es que los supernúmeros existen y que hay una amplia literatura sobre ellos desde 1975 hasta la actualidad. Para ser más honesto, en realidad hay muchos tipos diferentes de supernúmeros, sólo doy un comentario amplio aquí.

Answer 4

Los números que has enumerado son los " hipercomplejo "; hay unos cuantos que te faltan ahí. También hay " números transfinitos ".

Sí, la mayoría de estos números se utilizan para crear un sistema en el que se permiten ciertas manipulaciones. Sí, algunos de estos "números" no son números propiamente dichos según otras definiciones. Crear nuevos números no es necesariamente la única forma de expresar estas ideas, pero a menudo es una forma intuitiva e incluso elegante de hacerlo.

Answer 5

¿Hay más números fuera de las [álgebras de división real]?

Hoy en día, los matemáticos no hablan realmente de "números", sino de estructuras algebraicas , conjuntos no vacíos dotados de uno o varios operaciones binarias que satisface los axiomas. Las operaciones binarias se ven típicamente como una generalización de la "suma" y la "multiplicación"; los axiomas incluyen la axioma asociativo La existencia de un elemento neutro y posiblemente de inversa El axioma conmutativo , a axioma distributivo para la multiplicación con respecto a la suma, y así sucesivamente.

Dependiendo de los axiomas satisfechos, la estructura resultante (conjunto no vacío más una o más operaciones) puede llamarse grupo , a anillo , a campo o cualquiera de una plétora de términos similares.

Si se fija una colección de axiomas, se puede intentar clasificar ( hasta el isomorfismo ) las estructuras que satisfacen los axiomas. Sólo en raras ocasiones existe una estructura caracterizada completamente por propiedades abstractas. Un ejemplo famoso es el campo ordenado de números reales que es el único campo completo y ordenado .

Hay más tipos de estructuras algebraicas, y más ejemplos de dichas estructuras, de los que se pueden agitar un palo en .