¿Qué significa el ensanchamiento natural de la línea?

Question

Recientemente he encontrado un ejercicio en un libro de ejercicios:

Durante la transición del primer estado de excitación de un átomo de hidrógeno al estado básico, se emiten fotones con una longitud de onda de 121,5 nm. El tiempo de vida del estado excitado es de 10 ns. Calcule el ensanchamiento natural de la línea del estado excitado utilizando la incertidumbre energética.

¿Podría alguien explicarme brevemente qué es el "ensanchamiento natural de la línea del estado excitado"?

Answer 1

A pesar de la conveniente ficción de que las transiciones entre estados cuánticos sólo pueden ocurrir si la energía del fotón es exactamente igual a la diferencia de energía entre los dos estados, $$ \hbar \omega = E_2-E_1, $$ si se toma eso literalmente, entonces eso implicaría que incluso si la energía de los fotones sólo estuviera desviada por una parte en $10^{10^{10}}$ ya que no es exactamente igual a $E_2-E_1$ Entonces la transición no tendría lugar $-$ pero eso, por supuesto, es obviamente una simple tontería. En la física experimental no hay lugar para igualdades matemáticamente exactas entre números reales, y todas las magnitudes físicas, incluidas las posiciones de las líneas espectrales, tienen una anchura asociada.

Sin embargo, en el caso de las líneas espectrales, hay dos contribuciones principales a esa anchura:

• Puede ocurrir, por ejemplo, que su muestra tenga un montón de átomos diferentes, cada uno bajo condiciones similares pero ligeramente diferentes (digamos, diferentes campos eléctricos o magnéticos, o moviéndose a una velocidad térmica diferente con respecto al observador, etc.), lo que hace que todos los diferentes átomos tengan transiciones a frecuencias ligeramente diferentes. Esto se conoce como ensanchamiento no homogéneo de la línea.
• Sin embargo, también existe algo llamado ensanchamiento homogéneo de la línea, y esto afecta a la emisión incluso de un solo átomo. Esto se debe a que la emisión se inicia en un momento determinado (no se ha producido desde $t=-\infty$ ) y decae exponencialmente, por lo que en algún momento se quedará sin población de estado excitado para decaer (en un punto bastante corto de $t=\infty$ ), lo que significa que la emisión no es estrictamente monocromática, y una transformada de Fourier de la emisión de un solo átomo encontrará que tiene una anchura no nula.

Se te pide que estimes el ancho de línea causado por el ensanchamiento homogéneo, basándote en los requisitos del principio de incertidumbre causados por el tiempo de vida dado en el problema.

Answer 2

En la mecánica cuántica, los electrones pueden saltar de un estado a otro con la absorción/emisión de radiación. Sin embargo, la frecuencia de la radiación no tiene que ser exactamente $\frac{E_2-E_1}{h}$ . Se puede utilizar una frecuencia ligeramente diferente y seguir obteniendo la transición energética. Esto significa que si se observa el espectro de la luz emitida/absorbida por un átomo, no se ve una función delta aguda, sino una curva suave (línea) que parece una Lorentziano . Esto significa que la línea de absorción es más amplia que en el caso de que se absorba una sola frecuencia. De ahí viene el término "ensanchamiento de la línea", es decir, el fenómeno de que una curva de absorción se amplíe (lo que significa que cada vez más frecuencias pueden ser absorbidas por un electrón o emitidas por uno). Hay un par de razones para que la línea de absorción se ensanche, como la presión, el efecto Doppler, etc., pero como se ha dicho antes, incluso un solo átomo en el vacío tiene un "ensanchamiento natural".

Esto se debe al tiempo finito que un electrón pasa (en promedio) en el estado excitado. Esta transición se debe a que el hamiltoniano de un átomo en el vacío es perturbado por el campo electromagnético del vacío. En la teoría de la perturbación, se puede ver que cuanto más tiempo tarda una perturbación en inducir una transición, más precisa debe ser su frecuencia, lo que significa $\Delta \omega \Delta t \geq 1 $ .

En resumen, debe calcular el $\Delta \omega$ de la línea de absorción utilizando este principio de incertidumbre, pero espero que la explicación haya servido de ayuda (perdón por los errores en inglés)

Answer 3

Normalmente, al realizar los cálculos, consideramos que los niveles de energía del sistema son discretos. Pero, de hecho, los estados excitados tienen una cierta probabilidad de decaer mediante la emisión de fotones y, por tanto, tienen un tiempo de vida finito. Esto implica que los niveles se vuelven cuasidiscretos, con una anchura pequeña pero finita; se pueden escribir de la forma $E-\tfrac{1}{2}i\Gamma$ donde $\Gamma$ es la probabilidad total de todos los canales de desintegración posibles (este hecho se enuncia alternativamente como el Teorema Óptico). A menudo, la anchura que se desarrolla es bastante pequeña en comparación con la brecha entre los niveles discretos, por lo que aún podemos medir transiciones bruscas. Alguien más comenta que no deberíamos dar respuestas completas a las preguntas de los deberes, así que en su lugar me limitaré a elaborar el concepto y lo que significa, ya que eso es lo que has pedido. Por ejemplo, en otra respuesta se menciona que los niveles de energía se amplían en Lorentzianos - no es muy difícil deducir este hecho.

Empecemos desde cero, con la ecuación de Schrodinger \begin{equation} \label{sequation} i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\left(\hat{H}^{(0)}+\hat{V} \right)\Psi \end{equation} y expandir la solución en términos de las funciones de onda de los estados no perturbados del sistema \begin{equation} \label{tdpt} \Psi=\sum_\nu a_\nu (t) \Psi^{(0)}_\nu=\sum_\nu a_\nu (t) e^{-iE_\nu} \psi^{(0)}_\nu \end{equation} Insertando esta expresión a cada lado de la ecuación de Schrodinger y tomando productos internos con el estado $\nu$ da \begin{equation} \label{tdpt2} i\frac{\partial a_\nu}{\partial t}=\sum_\nu\langle\nu|V|\nu '\rangle a_{\nu '} (t) \ e^{i(E_\nu-E_\nu')} \end{equation} El procedimiento habitual para la teoría de la perturbación dependiente del tiempo es el siguiente Suponemos que el sistema está en algún estado inicial con probabilidad unidad $a_1=1$ y $a_\nu=0$ para $\nu\neq 0$ . A continuación, integramos ambos lados en el orden principal para encontrar $a_\nu$ manteniendo sólo los términos de la izquierda cuando $\nu'=1$ es decir, sólo manteniendo los términos a la cabeza en $V$ . El procedimiento para calcular $a_\nu$ procede más exactamente por iteración. Estamos particularmente interesados en la probabilidad de decaimiento a largo plazo \begin{equation} dw=|a_{\omega, 2}(\infty)|^2 \ d\omega \end{equation} donde $\nu=2$ es algún estado excitado y $\omega$ denota la emisión de un fotón. En el caso habitual de la teoría de perturbación dependiente del tiempo, estamos asumiendo efectivamente que nuestros resultados se aplican a un tiempo más largo que el espaciado inverso de los niveles, pero corto comparado con el tiempo de desintegración de los niveles de energía. Ahora relajemos esa suposición: cuando alcancemos tiempos comparables a la vida de desintegración del estado $1$ entonces $a_1=\exp{\left( -\tfrac{1}{2}\Gamma_1 t \right)}$ y la ecuación para $a_{\omega, 2}$ se convierte en \begin{equation} \label{modtdpt} i\frac{d a_{\omega, 2}}{dt}=\langle \omega, 2| V |1\rangle e^{i(\omega-\omega_{12})t-\frac{1}{2}\Gamma_1 t} \end{equation} Integrando de otro modo, como es habitual, y sustituyendo en la fórmula de la probabilidad de decaimiento a largo plazo se obtiene \begin{equation} \label{bwdist} dw=|\langle\omega, 2| V|1\rangle|^2 \frac{1}{(\omega-\omega_{12})^2+\frac{1}{4}\Gamma_1^2} \ d\omega \end{equation} Si suponemos que la anchura es pequeña, esta expresión está dominada por el rango de frecuencias $\omega\approx \omega_{12}$ y recuperamos la habitual regla de oro de Fermi.

Ahora definimos la expresión \begin{equation} \Gamma_{1\rightarrow 2}=2\pi \sum_{pol,\boldsymbol{k}}|\langle \omega 2| V|1\rangle|^2 \end{equation} que da la probabilidad total de emisión, después de sumar sobre las polarizaciones y direcciones de movimiento del fotón. Entonces, sumando nuestra expresión para la tasa de desintegración a largo plazo de forma similar sobre las polarizaciones y los momentos, llegamos a la distribución de frecuencia total para la radiación emitida \begin{equation} dw=\frac{\Gamma_{1\rightarrow 2}}{2\pi}\frac{1}{(\omega-\omega_{12})^2+\frac{1}{4}\Gamma_1^2} d\omega \end{equation} Este ensanchamiento de la línea espectral se produce para un átomo aislado en reposo, a diferencia del ensanchamiento causado por la interacción de los átomos con otros átomos ( $\textit{collision broadening}$ ) o por la presencia de átomos en la fuente que se mueven con distintas velocidades ( $\textit{Doppler broadening}$ ). Se denomina $\textit{natural shape}$ y está claro que se trata de un pico lorentziano, tal y como afirman las otras respuestas. (Además: podríamos seguir añadiendo refinamientos a este cálculo teniendo en cuenta el tiempo de vida del nivel $2$ ).