Diseño en dominio de frecuencia de un controlador PI para un sistema de primer orden con retraso en el transporte

Question

Supongamos que tengo el siguiente sistema de primer orden con retardo de transporte

$$G(s) = \frac{4563}{s + 64.77}\cdot e^{-0.000455\cdot s}$$

Mi objetivo es diseñar en el dominio de la frecuencia un controlador PI en la forma

$$D(s) = K_p + \frac{K_i}{s} = K_p + \frac{K_p}{T_i\cdot s} = \frac{K_p\cdot T_i\cdot s + K_p}{T_i\cdot s} = \frac{K_p\cdot(T_i\cdot s + 1)}{T_i\cdot s} = \frac{K_i\cdot(s\cdot T_i + 1)}{s}$$

para ese sistema de manera que tenga \$PM\geq 70^{\circ}\$ y \$\omega_{BW}\geq 691\,rad\cdot s^{-1}\$. He seguido estos pasos en el diseño:

1. Diagrama de Bode de \$G(s)\$

2. Frecuencia de cruce \$\omega_c\$

Para lograr \$PM = 70^{\circ}\$ necesito que la magnitud se intersecte en \$0\,dB\$ en una frecuencia (\$\omega_c\$) en la cual la fase sea igual a \$-110^{\circ}\$

Basado en el diagrama de Bode anterior tengo que \$\omega_c = 926\,rad\cdot s^{-1}\$.

3. Ganancia de integración \$K_i\$

Basado en el diagrama de Bode anterior necesito fijar \$K_i = 10^{\frac{-13.6}{20}} = 0.2042\$ para que la magnitud se intersecte en \$0\,dB\$ en \$\omega_c\$.

4. Constante de tiempo de integración \$T_i\$

Supongamos que el controlador PI tiene la siguiente función de transferencia \$\frac{(s\cdot T_i + 1)}{s}\$ (creo que está justificado porque ya encontré el valor de \$K_i\$ en el paso 3.). La mencionada función de transferencia reduce la fase en su punto de quiebre \$\omega = \frac{1}{T_i}\$ con un valor de \$-45^{\circ}\$. Basado en ese hecho he decidido fijar \$\frac{1}{T_i}\$ una década por debajo de \$\omega_c\$ es decir, \$\frac{1}{T_i} = 0.1\cdot\omega_c = 0.1\cdot 926 \sim 90\,rad\cdot s^{-1}\$. Basándome en eso \$T_i = \frac{1}{90} \sim 0.01\,s\$.

5. Verificación del diseño

He creado un diagrama de Bode del \$D(s)\cdot G(s)\$

y he encontrado que la frecuencia de cruce ha sido reducida sustancialmente con respecto al valor diseñado \$\omega_c = 926\,rad\cdot s^{-1}\$. Esto significa que no he cumplido con el requisito en cuanto a la velocidad de respuesta que es dada por \$\omega_{BW} = 691\,rad\cdot s^{-1}\$.

Me parece que el problema está en la selección inapropiada de la ubicación del punto de quiebre \$\omega = \frac{1}{T_i}\$. Creo que debería tener en cuenta también el punto de quiebre del integrador en \$\omega = 1\,rad\cdot s^{-1}\$.

¿Alguien puede darme un consejo sobre cómo proceder en el diseño del controlador PI en mi caso? Gracias de antemano por cualquier sugerencia.

Answer 1

Normalmente, los diseñadores no se sienten cómodos manejando los coeficientes \$k_i\$ y \$k_p\$ (o \$k_d\$) cuando se trata de estabilizar un sistema. La gran mayoría de ellos - ¡y en particular yo : ) - manejan la ubicación de polos y ceros, específicamente posicionados para forzar el cruce en la frecuencia deseada con el margen de fase adecuado. He reescrito la expresión original para graficarla en Mathcad:

Luego determino la magnitud y el retardo de fase de esa función de transferencia en la frecuencia de cruce considerada:

A partir de estos resultados, sabré cómo adaptar el compensador para forzar el cruce y aportar el impulso de fase adecuado para cumplir con el criterio de margen de fase. En tu caso, un compensador PI se relaciona con un compensador tipo 2a que presenta un polo en el origen para una alta ganancia en DC y un cero. Sin embargo, si exactamente deseas un margen de fase de 70° y no más, necesitarás un polo adicional para reducir el impulso de fase creado por el cero: el compensador se convierte en un tipo 2. Los pasos de cálculo están aquí:

Y si ahora multiplicas esta función de transferencia con la de tu proceso, obtenemos esto:

Se cumplen los objetivos de cruce y margen de fase.

Si ahora convierto estos elementos (excepto el polo) en valores de \$\tau_i\$ y \$k_p\$ siguiendo cálculos de mi libro azul, obtienes:

y puedes ver cómo los dos compensadores difieren ligeramente en términos de respuestas: el tipo 2 disminuye adecuadamente la ganancia a alta frecuencia y asegurará una buena inmunidad al ruido con un margen de ganancia mejorado. Además, adapta exactamente el impulso de fase a lo que se necesita con el polo adicional, algo que el PI no puede hacer ya que no aporta un polo. Como resultado, el margen de fase no cumple exactamente el objetivo de 70° una vez que el segundo compensador está involucrado para compensar el proceso:

No obstante, se cumple el objetivo. Una metodología similar se puede aplicar a un compensador PID filtrado que, una vez complementado con un polo adicional, se convierte en un compensador tipo 3.

Answer 2

No estoy seguro de cuáles fueron tus pensamientos durante el proceso de diseño, así que no puedo comentar al respecto, aparte de que se ve razonable. Sin embargo, esto es lo que haría si estuviera diseñando un controlador.

1 Diagrama de Bode de \$G_{ol}\$

Este es un buen Diagrama de Bode, pero idealmente queremos que la respuesta en magnitud sea una curva decreciente linealmente. Para ello podemos usar un término I.

Colocar la frecuencia de corte del término I en \$\omega_i=100 \text{rad/s}\$ funcionará. \$\tau_i = \frac{1}{\omega_i} = 0.01\text{s}\$

$$C_i = \frac{\tau_is+1}{\tau_is} = \frac{0.01s+1}{0.01s} $$

2 Diagrama de Bode de \$G_{ol}C_i \$

Una respuesta en magnitud estrictamente decreciente. Para obtener un margen de fase de 70° necesitamos una ganancia de \$K_p = 20^{\frac{-17}{20}} = 0.0738\$

3 Diagrama de Bode del sistema controlado y respuesta al escalón

Vemos un ancho de banda amplio y un gran margen de fase en el Diagrama de Bode. También vemos una respuesta al escalón muy buena.

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De los comentarios

¿Puedes decirme cómo encontraste la frecuencia de punto de quiebre \$ \frac{1}{\tau_i} = 100\text{rad/s}\$?

Claro. Elegí \$\omega_i = 100\text{rad/s}\$ porque quiero una respuesta en magnitud decreciente linealmente (respuesta de ganancia). Un término I aumenta la ganancia en las frecuencias bajas. \$\omega_i\$ es la frecuencia donde quieres que tu término I "deje" de aumentar la ganancia. Si esto sucede alrededor de \$\omega = 100\text{rad/s}\$ entonces obtenemos una buena respuesta en magnitud para tu sistema con el controlador implementado.

Echa un vistazo al Diagrama de Bode para el compensador \$C_i\$ por sí solo. Observa que tiene una alta ganancia para frecuencias bajas, y en \$100 \text{rad/s}\$ la ganancia es alrededor de \$0\text{dB}\$: -