¿De cuántas maneras puede el minero hacer un túnel desde la casilla superior izquierda hasta la casilla inferior derecha de un $4 \times 4$ ¿Red?

Question

Un minero está cavando un túnel en un $4$ por $4$ de la rejilla. Comienza en la casilla superior izquierda y sólo puede hacer un túnel directamente hacia abajo o directamente hacia su derecha. ¿De cuántas maneras diferentes puede llegar a la casilla inferior derecha?

Answer 1

Una pista: Dejemos que $r$ sea el número de pasos que el minero da a la derecha y $d$ el número de pasos hacia abajo, antes de llegar a la parte inferior derecha de la caja. A continuación, $r$ y $d$ siempre será igual a $3$ . Así que este problema se reduce a encontrar el número total de secuencias con longitud $6$ que contiene $3$ r's y $3$ d's.

Por ejemplo $rrrddd$ es una de esas secuencias.

Answer 2

Consideremos que es una cadena de longitud $8$ con $4$ repeticiones de $r,d$ así que aquí el total de formas/permutaciones son $\frac{8!}{4!.4!}=\frac{1680}{24}=70$ así que eso son todas las formas totales $70$ Espero que esté claro.

Answer 3

Al trazarlo, te darás cuenta de que el minero necesita ir 3 abajo y 3 a la derecha rrrddd , son los movimientos dados , las permutaciones de estos serán la respuesta. Dado el hecho de que las permutaciones deben ser diferentes de manera significativa, 6!/(3!*3!) es la respuesta correcta que es 20