Ecuación diofántica $(E): 49x-6y=1$

Question

Suponemos la ecuación diofántica en $\mathbb{Z}*\mathbb{Z} \quad$ $(E): 49x-6y=1$ y su solución general es: $\{(6k+1),(49k+8): k\in \mathbb{Z} \}$.

Establecemos $N = 1+7+7^2+...+7^{2007}$.

¿Cómo puedo demostrar eso?

• El conjugado $(7^{2006},N)$ es una solución para la ecuación $(E)$.
• $N\equiv 0 \mod 4$ y $N\equiv0 \mod 503.

Answer 1

Pista: Si $6k+1=7^{2006}$, ¿cuál es el valor de $k$? ¿Puedes expresarlo como la suma de una serie geométrica? En segundo lugar, nota que $7 \equiv -1 \pmod 4$ y que $503$ es un número primo.

Answer 2

Pista $\rm\ \ x = 7^k\:\Rightarrow\: y\, =\,\dfrac{49x-1}{6}\, =\, \dfrac{7^{k+2}-1}{7 - 1}\, =\, 7^{k+1}\!+\,\cdots + 7 + 1$