por qué $\langle 2\rangle =\langle 2,6 \rangle$ ?

Question

Tengo una confusión sobre esto Correo electrónico:

Dé un ejemplo en el que $A \subseteq B$ con $A \neq B,$ pero $\left\langle A\right\rangle= \left\langle B\right\rangle.$

Está escrito que si tomamos $G= ( \mathbb{Z},+)$ , $A=\{2\}$ y $B=\{2,6\}$ Entonces $\langle A \rangle =\langle B \rangle$

Mi opinión: Aquí ambos $A$ y $B$ de generación son diferentes. Así que $\langle A \rangle \neq\langle B \rangle$

$A=\langle 2\rangle = \{ 2n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

$B=\langle 2,6 \rangle =\{ 12n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

Mi pregunta: por qué es que $\langle 2\rangle =\langle 2,6 \rangle$ ?

Answer 1

Te equivocas en lo que $B$ es. Es el conjunto generado por ambos $2$ y $6$ individualmente. Así que en lugar de eso

$$B = \left\{ 2n + 6m \mid n,m \in \Bbb Z \right\}$$

Por supuesto, ya que un múltiplo de $6$ es un múltiplo de $2$ también, vemos $A=B$ .

Answer 2

\begin{alignat}{1} \langle B \rangle &= \left\{ 2n + 6m \mid n,m \in \Bbb Z \right\} \\ &= \left\{ 2(n + 3m) \mid n,m \in \Bbb Z \right\} \\ &= \left\{ 2l\mid l\in \Bbb Z \right\} \\ &=\langle A\rangle \end{alignat}