Ecuaciones diferenciales - Método de los coeficientes indeterminados para productos de polinomios y senos

Question

Considere

$y''+y= 2x \sin (x)$

Tengo la solución para la ecuación homogénea. Ahora estoy tratando de adivinar una solución particular para: $2x \sin (x)$

Mi primera suposición fue: $(Ax+B) \cos x + (Cx +D) \sin x$ pero termino con el sistema:

$\left\{\begin{matrix} -2A & +2B& =0\\ 2C =0& & \end{matrix}\right.$

Entonces mi pregunta fue: $(Ax^2+xB) \cos x + (Cx^2 +xD) \sin x$ pero eso me deja con:

$\left\{\begin{matrix} -Ax & -B & +4C & =0\\ 2A & 2D & =0 & \\ -4A & -Cx & -D & =0\\ -2B & 2C & =0 & \end{matrix}\right.$

Siento que algo está mal.

Por lo tanto, me gustaría saber si mi suposición está bien al menos, entonces voy a tratar de averiguar cómo organizar las ecuaciones con el fin de tener algo útil.

Answer 1

La última suposición es cierta pero sus cálculos son incorrectos
La ecuación final debería dar $$2A+2D=0\\-2B+2C=0\\-4A=2\\4C=0$$ Así, $C=B=0,A=-D=-\frac{1}{2}$