¿Por qué se necesita el determinante jacobiano para cambiar las variables en la integral vectorial?

Question

Vector $\mathbf{y} = (y_1, y_2, ..., y_N)$ y el vector $\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_N)$ se relacionan según la ecuación:

$$p(\mathbf{y}) = \frac{1}{|\mathbf{A}|}q(\mathbf{x})$$

Y la ecuación lineal:

$$\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$$

Ahora necesito cambiar las variables para una integral a continuación de $\mathbf{y}$ a $\mathbf{x}$ .

$$g(\mathbf{y}) = \int p(\mathbf{y})~ d\mathbf{y}$$

El libro de texto dice que es así:

$$g(\mathbf{y}) = \frac{1}{|A|} \int q(\mathbf{x})~ \bigg| \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} \bigg|d\mathbf{x}$$

$$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial }{\partial x} Ax = A$$ |

$$g(\mathbf{y}) = \frac{1}{|A|} \int q(\mathbf{x})~ d\mathbf{x}$$

Estoy un poco confundido por el uso del Jacobiano $\bigg| \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} \bigg|$ para cambiar las variables en este caso... principalmente porque la mayoría de los ejemplos en internet asumen que tienes dos integrales cuando usas el jacobiano para cambiar las variables...

Las preguntas son las siguientes:

(1) ¿Cómo funciona el jacobiano en el caso de una integral simple donde las variables x e y son vectores?

(2) Puedo ver que $dy$ en el numerador se cancela con $\partial{y}$ en el denominador... No entiendo cómo se elimina la determinante y por qué se puede cancelar una diferencial parcial con una diferencial regular...

(3) ¿por qué no puedo utilizar el método de cambio de variable que enseñan en "cálculo I" en lugar de utilizar un jacobino cuando se aplica a una integral vectorial?

Answer 1

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ Permítanme resumir los comentarios y añadir un poco.

Digamos que tienes una función $p : \R^N \to \R$ y quieres calcular la integral de un determinado (conjunto medible) $E \subset\R^N$ . Entonces se escribiría $$ \int_E p(x) dx \qquad \text{which is a real number!} $$ Ahora, como estamos en $\R^N$ esta integral es una $N$ -D integral y así $dx$ es realmente $dx = dx_1dx_2\cdots dx_N$ .

A veces esto puede ser muy difícil de calcular, especialmente cuando el conjunto $E$ es un poco incómodo ya que es por ejemplo si se quiere integrar sobre una Bola o cosas similares. Entonces tiene sentido hacer una transformación de variables, por ejemplo, coordenadas polares. Así que en general tendrías una función inyectiva (uno a uno) diferenciable $A$ para que $x = A(y)$ . Entonces $A : \R^N \to A(\R^N)$ es biyectiva y se puede calcular el jacobiano de $A$ que denotaré por $DA$ (aquí se necesita un poco más de suposición en esta transformación $A$ para que la siguiente fórmula funcione): Esta es una $N\times N$ matriz en cada punto $y=(y_1,\dots,y_N)$ y así se puede calcular el determinante. Entonces se obtiene la regla de transformación: $$ \int_E p(x) dx = \int_{A^{-1}(E)} p(A(y)) |\text{det}(DA)(y)|dy $$ Ahora, la expresión $|\text{det}(DA)(y)|$ (por cierto, el $| \cdot |$ significa el módulo aquí) puede ser un poco largo y también hay un buen análogo de cálculo 1-D, por lo que algunos autores sólo les gusta introducir la notación: $$ \left|\frac{\partial y}{\partial x}\right| := |\text{det}(DA)(y)| $$ (A mí no me gusta demasiado, pero eso es, por supuesto, cuestión de gustos).

Ahora vamos a hacer tu caso especial: Tenemos $$ x = Ay \qquad \text{where} \quad A \quad \text{is a } N\times N \text{matrix}, $$ con determinante no evanescente (¡así que es biyectiva!) también sabemos algo sobre $p(x)$ es decir, que $$ p(x) = p(Ay) = \frac{1}{|\text{det}(A)|} q(y). $$ ¿Qué es lo primero que tenemos que hacer? Tenemos que calcular $DA$ . Ahora bien, como $A$ es sólo un mapa lineal constante, la mejor aproximación lineal es $A$ por lo que obtenemos $DA(p) =A$ para cualquier punto $p\in \R^N$ .

¿Qué es la $E$ ? Bueno, no se menciona en su configuración, así que vamos a tomar $E = \R^N$ Así que $A^{-1}(\R^N) = \R^N$ . ¡Bien!

Así que tenemos: $$ \int_{\R^N} p(x) dx = \int_{\R^N} p(A(y)) |\text{det}(A)| dy = \int_{\R^N} q(y) dy $$

Answer 2

Reglas de cambio de variable de la integral vectorial

El Determinante jacobiano $\bigg|\frac{\partial y}{\partial x} \bigg|$ es necesario para cambiar las variables de integración que vectores .

Dada:

$$\int_A f(\mathbf{y})~d\mathbf{y}$$

donde:

$$\mathbf{y} = g(\mathbf{x})$$

Podemos cambiar las variables de integración de y a x sustituyendo la Jacobiano determinado en la integral de la siguiente manera::

$$d\mathbf{y} = \bigg|\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} \bigg| d\mathbf{x}$$

A continuación, integre lo siguiente:

$$\int_A f(\mathbf{y})~d\mathbf{y} = \int_{g^{-1}(A)} f(g(x))~\bigg|\frac{\partial y}{\partial x} \bigg| dx$$