Si $0<a<$ 1, demuestre que $\inf{a^n}=0$

Question

Desde $0$ es un límite inferior $\inf{a^n}\geq 0$ . ¿Cómo puedo demostrar que $\inf{a^n}=0$ ?

Answer 1

Demostrar: si $S$ es un conjunto no vacío de números reales con un límite inferior, de modo que $\inf S$ se define, y si $aS$ denota el conjunto $\{ax : x \in S\}$ entonces $\inf(aS)$ también se define, y porque $a > 0$ , $\inf(aS) = a(\inf S)$ . Obsérvese que si $S = \{a, a^2, a^3, \ldots\}$ entonces $aS \subset S$ lo que sigue, teniendo en cuenta que $a < 1$ ?

Answer 2

Pista: Supongamos que $\inf a^n=b>0$ . Entonces, para cualquier $\epsilon>0$ existe $n$ tal que $a^n<b+\epsilon$ . Trate de elegir $\epsilon$ por lo que esto implicaría $a^{n+1}<b$ para obtener una contradicción.

Answer 3

Desde $0 < a < 1$ , $a = \frac1{1+b} $ donde $b = \frac1{a}-1 > 0$ .

Entonces, por la desigualdad de Bernoulli, $(1+b)^n \ge 1+bn > bn $ así que $a^n =\frac1{(1+b)^n} < \frac1{bn} = \frac1{n(1/a-1)} \to 0 $ .

Nota: Esto no es original. Lo vi en "¿Qué son las matemáticas?" de Courant y Robbins, un libro que recomiendo encarecidamente.

Answer 4

Debemos demostrar que para cada $\delta > 0$ hay algo de $n \geq 1$ tal que $0 \leq a^{n} < \delta$ . La desigualdad de la izquierda es trivial, ya que por la suposición $0 < a < 1$ . Queda por demostrar la desigualdad correcta. Sea $\delta > 0$ . Si $\delta \geq 1$ entonces $a^{n} < \delta$ para todos $n \geq 1$ ; supongamos que $\delta < 1$ . Entonces $a^{n} < \delta$ si $$ n|\log a| > |\log \delta|, $$ si $$ n > \frac{\log \delta}{\log a}. $$ Así que hay algo de $n \geq 1$ tal que $a^{n} < \delta$ , digamos que $$ n := \bigg\lfloor \frac{\log \delta}{\log a} \bigg\rfloor + 1. $$

Answer 5

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $a > 0$ por lo que para cualquier número entero positivo $n$ tenemos $a^n > 0$ . También tenemos $a < 1$ . Multiplica ambos lados de esta desigualdad por $a^n$ para obtener $a^{n+1} < a^n$ . Esto demuestra que $x_n = a^{n}$ es una sucesión decreciente que está acotada por debajo (por cero), por lo que es convergente a su infimo, que llamaremos $L$ .

Ahora bien, ten en cuenta que, por un lado, $$\lim_{n \to \infty}a^{n+1} = a\lim_{n \to \infty}a^n = aL$$ Pero por otro lado, $$\lim_{n \to \infty}a^{n+1} = \lim_{n \to \infty}x_{n+1} = \lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}a^n = L$$ donde la segunda igualdad se mantiene porque $\{x_{n+1}\}$ es una sucesión de $\{x_n\}$ .

Dado que el LHS de las dos cadenas de igualdades anteriores es el mismo, el RHS también debe ser igual, por lo que $aL = L$ lo que significa que $L(a-1) = 0$ . Como $a \neq 1$ Esto obliga a $L = 0$ .