¿Qué grupos son esos? ¿Qué significa :?

Question

¿Cuáles son los grupos 2^6 : 3 . S_6 o 2^4 : A_8 ? ¿Son algunos subgrupos de S_6 o A_8?

Creo que 2 . A_n es la doble cobertura de A_n, y "multiplicando" por un número se obtiene un grupo de cobertura. Pero, ¿qué significa :?

Leí a Pinter "A Book of Abstract Algebra" (ese es mi nivel, la notación aparece en textos más avanzados). ¿Alguna sugerencia donde se explique esta notación?

Gracias

Answer 1

Esta es la notación ATLAS.

El : significa una extensión dividida, y $2^4$ significa un grupo abeliano elemental de ese orden. Así que $2^4:A_8$ denota un grupo $G$ que tiene un subgrupo abeliano normal elemental $N$ de orden $16$ y un subgrupo $H \cong A_8$ tal que $G = NH$ y $N \cap H = 1$ . Así que $G \cong N \rtimes A_8$ . También podemos deducir que la acción de $A_8$ en $N$ no es trivial, ya que de lo contrario sería un producto directo escrito como $2^4 \times A_8$ .

En principio, el paréntesis de $2^6:3\cdot S_6$ es ambiguo pero la única interpretación sensata es $2^6:(3 \cdot S_6)$ que denota un grupo $G \cong N \rtimes H$ con $N$ abelianos elementales de orden $64$ y $H \cong 3 \cdot S_6$ , una cubierta de tres pliegues de $S_6$ . El $\cdot$ en realidad denota una extensión no dividida.