Acerca de $\lim_{x\to\infty} f(x+1)/f(x)$

Question

Considere $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}$

Intuitivamente, me parece que este límite debería ser igual a 1 porque "infinito" e "infinito+1" es esencialmente la misma cosa.

Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea completamente correcto.

En segundo lugar, si es correcto, no tengo ni idea de cómo demostrarlo usando las leyes de los límites que he aprendido (o incluso por dónde empezar, ya que no sé que ninguno de los dos límites existe por separado, así que no puedo separarlos)

Answer 1

Incluso bajo el supuesto de que $\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty$ (implícito en su pregunta), no podemos decir mucho.

• El límite puede ser $1$ : tomar $f(x) = x$ : $$\lim_{x\to\infty} \frac{x+1}{x} = 1$$

• El límite puede ser cualquier número positivo $a>1$ : tomar $f(x) = a^x$ : $$\lim_{x\to\infty} \frac{a^{x+1}}{a^x} = a$$

• El límite puede ser $\infty$ : tomar $f(x) = e^{e^x}$ : $$\lim_{x\to\infty} \frac{e^{e^{x+1}}}{e^{e^x}} = \infty$$

• El límite puede no existir: tomar $f(x) = \begin{cases} x &\text{ if } x\in 2\mathbb{N}\\2x &\text{ if } x\in 2\mathbb{N}+1\\ x &\text{otherwise.}\\\end{cases}$ Entonces $$\lim_{n\to\infty }\frac{f(2n+1)}{f(2n)} = 2,\qquad \lim_{n\to\infty }\frac{f(n\pi+1)}{f(n\pi)} = 1$$

(para tener el mismo comportamiento de "el límite de la relación no existe" para un continuo función $f$ También se puede considerar $f(x) = x(2+\cos x)$ : $\liminf_{x\to\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)} = \frac{1}{2}$ , $\limsup_{x\to\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)} \simeq 1.73 > 1$ y de hecho $\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty$ .)

Nota: la proporción puede tener un límite $1\leq \ell\leq +\infty$ o sin límite; en este último caso, puede incluso tener un $\liminf$ igual a $0$ . Sin embargo, no puede tener un límite $\ell < 1$ ya que, de lo contrario, la función $f$ debe ser decreciente para $x$ lo suficientemente grande y luego no puede satisfacer $\lim_{\infty} f = \infty$ .

Answer 2

Consideremos como contraejemplo $f(x)=e^x$ entonces

$$\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{e^{x+1}}{e^x}=e$$

o también

$$f(x)=\sin (x)\implies \frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{\sin(x+1)}{\sin x}\to N.E.$$

Por lo tanto, en general, el límite depende de la función particular considerada.

Answer 3

Consideremos una serie aleatoria que toma el valor de $1$ o $2$ con la misma probabilidad: $r:\,\mathbb{N}^{+}\to\left\{ 1,2\right\}$ donde $\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}r\left(i\right)=\frac{3}{2}$ . Los posibles cocientes $\frac{r\left(i\right)}{r\left(i+1\right)}$ y luego tomar valores aleatorios en $\left\{ \frac{1}{2},1,2\right\}$ con probabilidades $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{4}$ respectivamente. No hay ningún límite.

Sin embargo, si $\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)$ existe, ¿qué podemos decir entonces del cociente?

Considere la serie $h:\,\mathbb{N}^{+}\to\mathbb{Q}$ con $h\left(i\right)=\frac{1}{2}^{i}$ . Entonces $\frac{h\left(i\right)}{h\left(i+1\right)}=2$ .

Así que tenemos un límite, pero no es $1$ ...

Pero no es necesario que haya un límite del cociente incluso en el caso de que $f\left(x\right)$ se acerca a un límite:

Con nuestra función aleatoria $r$ como se ha definido anteriormente, definen una serie $d:\,\mathbb{N}^{+}\to\mathbb{Q}$ con $d\left(1\right)\,:=\,1$ y $d\left(i+1\right)=\frac{d\left(i\right)}{r\left(i\right)}$ . El límite es $\lim_{i\to\infty}d\left(i\right)=0$ . Pero $\frac{d\left(i\right)}{d\left(i+1\right)}=r\left(i\right)$ no tiene límite.

Por extensión continua de la serie anterior es obvio que hay ejemplos similares para funciones continuas. Utilice splines para construir ejemplos para funciones diferenciables.

El resultado final: Sin algún conocimiento adicional sobre la función, ni siquiera se puede garantizar que el cociente tome algún límite, y mucho menos $1$ .