¿Ejemplos de aplicaciones del teorema de Borel-Weil-Bott?

Question

En "Quantum field theory and the Jones polynomial" (Comm. Math. Phys. 1989 vol. 121 (3) pp. 351-399), Witten escribe:

Una representación R _i de un grupo G debe ser visto como un objeto cuántico. Esta representación debe obtenerse cuantificando una teoría clásica. El teorema de Borel-Weil-Bott da una forma canónica de exhibir para cada representación R de un grupo compacto G un problema de física clásica, con G simetría, de manera que la cuantización de este problema clásico devuelve R como el espacio cuántico de Hilbert. Se introduce el "colector de banderas" G/T con T siendo un toro maximal en G y para cada representación R se introduce una estructura simpléctica ω _{<em>R </em>} en G/T , de manera que la cuantización del espacio de fase clásico G/T con la estructura simpléctica ω _{<em>R </em>} , devuelve la representación R . Muchos aspectos de la teoría de la representación encuentran explicaciones naturales al considerar así las representaciones de los grupos como objetos cuánticos que se obtienen por cuantificación de la física clásica. [página 372; énfasis añadido]

Me fascina esta idea, no la había visto antes, pero parece natural, en el sentido de que los objetos clásicos no deberían ser lineales, mientras que los objetos cuánticos sí. Lo que más me interesa es la última frase: ¿qué ejemplos se os ocurren de hechos de la teoría de la representación que puedan ser "explicados" por la "física" en G/T ? (Además, por supuesto, de la aplicación de Witten en el documento que he citado).

En general, he leído la discusión de Wikipedia sobre el teorema de Borel-Weil-Bott, y he buscado en Google al azar, pero no he encontrado una descripción elemental de la estructura simpléctica a la que se refiere Witten. ¿Alguien quiere explicar pedantemente el comentario de Witten, por favor?

Answer 1

Mira las órbitas de G en g* el dual del álgebra de Lie. Estas "órbitas coadjuntas" tienen una estructura simpléctica canónica. Cada una de estas órbitas cruza la cámara de Weyl positiva exactamente una vez; consideremos las que la cruzan con un "peso positivo" (es decir, los elementos de g* que levantan a los personajes en T , el toro máximo). Los pesos positivos clasifican exactamente las representaciones irreducibles. Al mismo tiempo, podemos construir un haz de líneas sobre la órbita coadjunta correspondiente, de modo que la forma simpléctica realiza la clase de Chern. Las secciones de este haz son automáticamente una representación de G, y el teorema de Borel-Weil-Bott, en una de sus formas más amigables, dice que ésta es la representación que se espera -la que tiene el peso más alto con la que empezamos.

Genéricamente, una órbita coadyuvante es simplemente G/T. Cuando no lo es, es un cociente más profundo, pero se puede retrotraer la estructura simpléctica canónica a G/T, y seguir haciendo todo allí. Esta es la estructura simpléctica ω _R Witten se refiere a ello.

Answer 2

Voy a elaborar para usted el ejemplo mencionado por Scott: En la proyección estereográfica las coordenadas de S 2 , la 2 forma simpléctica viene dada por:

ω = dz^dz̄/(1+zz̄) 2

Clásicamente, se pueden construir tres funciones hamiltonianas que representan los generadores del álgebra de Lie su(2) que constituyen de una subálgebra del álgebra de Poisson correspondiente a ω

T _X \= (z+z̄)/(1+zz̄)

T _Y \= -i(z-z̄)/(1+zz̄)

T _Z \= (1-zz̄)/(1+zz̄)

Mecánicamente, la representación de espín j de SU(2) se realiza en un espacio de Hilbert (núcleo reproductor) generado por secciones holomorfas de un haz de líneas cuyas expresiones en las coordenadas estereográficas son 1, z, . , z 2j . El álgebra de Lie de su(2) puede realizarse en este espacio mediante los operadores diferenciales:

s _X \= -(1-z 2 )∂/∂z + 2jz

s _Y \= -i(1+z 2 )∂/∂z - 2ijz

s _Z \= -2z∂/∂z -2j

Las teorías de cuantización geométrica ofrecen métodos sistemáticos para realizar estas construcciones para un grupo de Lie compacto general para una realización concreta del teorema de Bore-Weil-Bott.

Me gustaría mencionar que se pueden hacer muchos cálculos de teoría de la representación utilizando esta realización de la teoría de la representación de grupos de Lie compactos. Además, esta realización está relacionada con los estados coherentes generalizados de Perelomov.

Existen algunas generalizaciones para las representaciones en grupos de Lie no compactos. Además, el teorema de Borel-Weil-Bott puede relacionarse de muchas maneras con la supersimetría.

La "linealización" de la mecánica clásica se consigue mediante la realización del espacio cuántico de Hilbert por secciones de un haz de "líneas". Estas secciones también relacionan esta realización con la geometría proyectiva a través del torema de incrustación de Kodaira.

Answer 3

El ejemplo más concreto es el siguiente SU(2)/S^1 = S^2 . Dependiendo del punto en su(2)* este S^1 se estabiliza, el S^2 tiene varios volúmenes diferentes. Cuando ese volumen es un número entero k, hay un paquete de líneas asociado O(k) , cuyas secciones son el k+1 representación dimensional de SU(2) .

Answer 4

Para aplicaciones reales, hay algunas; por ejemplo, la imagen del mapa de momentos de G/B para la acción del toro es el casco convexo del diagrama de pesos, y las multiplicidades de pesos se aproximan por el volumen de las fibras.

Hay un asunto similar con las multiplicidades del producto tensorial, donde se mira la imagen del mapa de momentos para G actuando sobre el producto de dos órbitas coadjuntas. Esta es una forma de pensar en la convexidad del soporte de las multiplicidades del producto tensorial.

Además, si miras las dimensiones de las representaciones $V_{n\lambda}$ para algún lambda fijo, se obtiene un polinomio de orden la dimensión de la órbita coadjunta correspondiente, y término principal su volumen simpléctico.

Answer 5

McGovern aplica Borel-Weil-Bott para obtener una regla de bifurcación de G=Spin(7,C) a H=G2. El punto principal aquí es que hay parabólicas P \subset G y Q \subset H tal que G \P =H \Q. Luego, a través de Borel-Weil-Bott, reduce el problema de ramificación a uno entre los factores de Levi de estas parabólicas. La misma idea se aplica a la ramificación de SL(2n,C) a Sp(2n,C). El artículo correspondiente es "McGovern, William M. A branching law for Spin(7,C)→G ₂ y sus aplicaciones a las representaciones unipotentes. J. Algebra 130 (1990), nº 1, 166--175".