Si la gravedad no es una fuerza, ¿cómo es que puede producir energía potencial?

Question

Según mi pobre comprensión de la teoría de la relatividad de Einstein, la gravedad no es una fuerza, sino la consecuencia de que la masa curve el continuo espacio-tiempo. Por lo tanto, la luna que gira alrededor de la tierra va en realidad en línea recta en el continuo espacio-tiempo.

El concepto de fuerza está muy relacionado con el de energía. Una fuerza es algo que modifica la energía de un sistema realizando un trabajo sobre él. En cinemática, el trabajo como:

$$W=\int\vec{F}\cdot d\vec{x}$$

Considere la posibilidad de una central eléctrica que utilice energía mareomotriz por ejemplo. Estas estaciones crean electricidad a partir de la energía potencial de las mareas. Esta energía debe venir de alguna parte y me resulta confuso cómo toda esta agua ganó energía potencial si no hubo ninguna fuerza que causara trabajo en ella. Podría concebir de alguna manera que el concepto de energía potencial es una "ilusión", al igual que el concepto de que la gravedad es una fuerza, pero entonces, ¡parece sorprendente que podamos convertir esta "ilusión" en electricidad!

Si la gravedad no es una fuerza, ¿cómo es que puede producir energía? ¿Cómo se entiende la energía potencial según la teoría de la relatividad?

Answer 1

La respuesta corta es que no hay conservación de la energía en la relatividad general.

Tanto la gravedad newtoniana como la relatividad general tienen descripciones totalmente autoconsistentes de una roca que cae al suelo, y ambas están, a efectos prácticos, en perfecto acuerdo con el experimento para esta situación. Pero eso no significa que utilicen la misma descripción del proceso.

GR no tiene realmente conservación de la energía en todos los casos. La descripción más sencilla de la roca que cae dentro de la RG es que la roca tiene un determinado vector de velocidad, y ese vector de velocidad permanece constante. (Mientras tanto, la tierra se acelera hacia la roca).

Si quieres describir la caída de la roca utilizando la energía y la RG, puedes hacerlo, pero se complica. Un enfoque es explotar un vector de Killing semejante al tiempo para obtener una cantidad conservada del movimiento para una partícula de prueba. Esta cantidad puede interpretarse como una energía, pero no se divide bien en energía cinética y potencial.

En la RG también tenemos ciertas medidas conservadas de energía que se conservan en los espacios-tiempos asintóticamente planos, lo que básicamente significa espacios-tiempos que pueden ser aproximados como alguna materia aislada dentro de una determinada región del espacio. Un ejemplo de tal cantidad es la energía ADM. El sistema tierra-roca puede aproximarse de esta manera, y la energía ADM es constante.

Answer 2

La primera ley de Newton es un caso especial de la segunda, con $\ddot{x}^i=0$ cuando ninguna fuerza neta actúa sobre el cuerpo. En la relatividad general, esto se convierte en $\ddot{x}^\mu =-\Gamma^\mu_{\nu\rho}\dot{x}^\nu\dot{x}^\rho$ , donde esta vez $\dot{f}$ es la derivada de $f$ con respecto al tiempo propio, y los coeficientes $\Gamma^\mu_{\nu\rho}$ se denominan símbolos de Christoffel y caracterizan la geometría del espaciotiempo. Aquí los índices romanos como $i$ se ejecuta sobre los componentes de $3$ -mientras que los índices griegos como $\mu$ se ejecuta sobre los componentes de $4$ -vectores. En el límite de campo débil, y si el cuerpo se mueve a una velocidad $\ll c$ obtenemos $\ddot{x}^i\approx-\Gamma^i_{00}$ (el $\dot{x}^0$ se aproxima a $1$ ya que el tiempo propio y el relativista son similares). Esto muestra cómo se recupera una aceleración de los cuerpos independiente de la masa, es decir, la gravedad que conoció Newton. Multiplicando por la masa se obtiene una "fuerza", a partir de la cual podemos calcular la energía potencial como es habitual.