Axiomas de campo: ¿Por qué tenemos $ 1 \neq 0$ ?

Question

En las definiciones de un campo, tenemos $ 1 \neq 0$ .

Sé que en la multiplicación regular $0 \times 1=0$ pero para la recíproca no tenemos la inversa de $0$ .

Pero todos los espacios y las diferentes definiciones de las multiplicaciones que satisfacen los axiomas de campo, ¿por qué necesitamos $ 1 \neq 0$ ?

Por favor, no utilice una terminología demasiado técnica. Estoy leyendo a Baby Rudin ahora mismo.

Answer 1

Si $1 = 0$ el campo es sólo $\Bbb K = \{0\}$ . $$x = x \cdot 1 = x \cdot 0 = 0, \quad \forall\, x \in \Bbb K$$

Answer 2

Como ya se ha señalado en otra respuesta, un anillo en el que $1=0$ consta de un solo elemento, como por ejemplo $$a=1a=0a=(0+0)a = (1+1)a= a+a$$ muestra $0=a$ para cada $a$ .

Y, uno no quiere esta estructura, sólo $\{0\}$ para ser un campo, ya que esto sería inconveniente, ya que entonces se escribiría todo el tiempo let $K$ sea un campo distinto del campo trivial, en lugar de escribir simplemente let $K$ sea un campo.

Por ejemplo, no hay una noción razonable de un espacio vectorial (no trivial) sobre ese "campo", así que lo que es $K^2,K^3$ y así sucesivamente en ese caso? De nuevo el espacio vectorial trivial, pero entonces la dimensión de $K^n$ no es $n$ más para este "campo".

Los polinomios sobre ese anillo tampoco tienen mucho sentido y se puede seguir así.

Answer 3

Si 1=0, por definición de estos dos elementos, se tendría, para cada elemento $a$ de este "campo". $a=1a=0a=0$ como ha demostrado @quid, es decir, el conjunto de terrenos para este campo sería simplemente un singleton. Así que no habría mucha emoción o utilidad en este campo. Es como la falta de emoción en considerar la base logarítmica 1 -- no es divertido, o para el caso considerar que 1 es un número primo.