Supongamos que tenemos un espacio de Banach $X$ y un operador idempotente $Q\colon X^*\to X^*$ con rango isomorfo a $\ell_1$ . Debe $Q$ sea un adjunto de algún operador idempotente en $X$ ? En otras palabras, ¿es $Q$ $w^*$ - $w^*$ -¿Continuo?
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Matthew Scouten
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Dejemos que $X = C[0,1]$ así que $X^* = M[0,1]$ las medidas de Borel con signo en $[0,1]$ . Definir $Q: X^* \to X^*$ para que $Q \mu$ es la medida apoyada en $\{1/n: n \in {\mathbb N}\}$ con $(Q\mu)(\{1/k\}) = \mu((1/(k+1),1/k])$ .
Esto no es $w^*-w^*$ continuo: como $t \to 1/n+$ la masa puntual $\delta_t$ converge $w^*$ à $\delta_{1/n}$ pero $Q \delta_t = \delta_{1/(n-1)}$ para $t \in (1/n, 1/(n-1)]$ .
No. Considera $X = c_{0} \mathbin{\oplus_{\infty}} \ell^1$ para que $X^{\ast} = \ell^{1} \mathbin{\oplus_1} \ell^{\infty}$ y tomar un límite de Banach $L: \ell^{\infty} \to \mathbb{R}$ . Entonces $L \in (\ell^{\infty})^\ast \smallsetminus \ell^{1}$ , por lo que no es débil $^\ast$ -continua: la secuencia $h_n = (1,\ldots,1,0,\ldots)$ con $n$ entradas no nulas débiles $^\ast$ -convierte a la secuencia constante $1$ pero $1 = L(1) \neq 0 =\lim_{n\to\infty}L(h_n)$ .
Identifiquemos $\mathbb{R}$ con el subespacio de secuencias constantes en $\ell^\infty$ .
El alcance del mapa $Q\colon \ell^{1} \mathbin{\oplus_1} \ell^{\infty} \to \ell^{1} \mathbin{\oplus_1} \ell^{\infty}$ dado por $Q(g,h) = (g,Lh)$ es $\ell^{1} \mathbin{\oplus_1} \mathbb{R} \subset \ell^1 \mathbin{\oplus_1} \ell^\infty$ y $Q$ es idempotente porque $L$ fija el espacio de las secuencias constantes. Pero $Q$ no es débil $^\ast$ -continua porque $(0,1)$ es el débil $^\ast$ -límite de $(0,h_n)$ mientras que $(0,L(1)) = (0,1) \neq (0,0) = \lim_{n\to\infty}(0,Lh_n)$ .
