¿Es isomorfo a $\mathbb{C}^*$ $\mathbb{R}^+$ modulo de las raíces de la unidad?

Question

Un estudiante se acercó a mí, mostrando una pregunta de su examen básicas de la teoría de grupo, en el que se pide demostrar que $\mathbb{C}^*$ modulo el subgrupo de raíces de la unidad es isomorfo a $\mathbb{R}^+$ (en ambos casos nos referimos a la multiplicación de los grupos).

Ahora me parece que este sea un simple error en la pregunta. Creo que quería preguntar a demostrar que $\mathbb{C}^*$ modulo de todos los elementos de valor absoluto 1 es isomorfo a$\mathbb{R}^+$, lo que es muy fácil demostrar (tomar el homomorphism asignación de $z$ $|z|$y el uso de la primera homomorphism teorema). Sin embargo, yo no podía probar la afirmación acerca de las raíces de la unidad es malo; hay una manera fácil de mostrar esto?

Answer 1

Pos de la integridad: $\mathbb{C}^{\ast}$ es isomorfo a $\mathbb{R}^{+} \oplus \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ en la manera obvia, y es isomorfo a $\mathbb{C}^{\ast}$ $\mathbb{R}^{+} \oplus \mathbb{R}/\mathbb{Q}$ modulo de las raíces de la unidad. Como un espacio de $\mathbb{Q}$-vector es abstractamente isomorfo a $\mathbb{R}^{+}$, pero la construcción de tal un isomorfismo es probable que requieren el axioma de elección.