Tiempo medido por una persona vs. Tiempo medido por la misma persona observado desde otro marco

Question

Me refiero a las últimas líneas de la imagen. Dice : $t_A$ (tiempo medido por A1 visto por A1) = $t’_A$ (tiempo medido por A1 visto por Bob)

¿Por qué estos dos tiempos son iguales?

La razón que se aduce es: "Deben estar de acuerdo en los ajustes de la guardia en los eventos aunque puedan estar en desacuerdo en la cantidad de tiempo que pasó entre ellos".

Creo que con "ajustes del reloj" se refieren a la hora que aparece en el reloj.

Entonces, digamos que ocurre un evento E y el reloj de Alicia muestra la hora $t_1$ al inicio del evento E (en el marco de Alice), y $t_2$ al final del evento. Así que Alice mide el intervalo para que sea $t_2-t_1$ . Supongamos que Bob también observa el reloj de Alice. Si ambos coinciden en los "ajustes del reloj" al inicio y al final del evento, entonces Bob encuentra que el reloj de Alice estaba mostrando de nuevo tiempos $t_1$ y $t_2$ al inicio y al final del evento E respectivamente. Así que también concluye que el intervalo observado por Alicia es $t_2-t_1$ .

Sin embargo, ¿por qué iban a coincidir ambos en la configuración del reloj? Esto va en contra de la "relatividad de la simultaneidad". Si "el reloj de Alicia muestra $t_1$ ' y 'El comienzo del evento E' ocurren simultáneamente en el marco de Alice, entonces no significa que ambos ocurrirán simultáneamente en el marco de Bob también.

Answer 1

Considera la definición de longitud. Podemos definirla como la diferencia de las coordenadas espaciales entre dos puntos con respecto a un marco de referencia, cuando sus coordenadas temporales son las mismas. Básicamente la longitud es la distancia entre dos puntos cuando están en la misma coordenada temporal.

Así, la relación entre la longitud con respecto a dos marcos de referencia diferentes puede obtenerse utilizando la transformación de Lorentz para las coordenadas espaciales.

Considere, el siguiente escenario, dos marcos de referencia A y B. A está estacionario, mientras que B se mueve con una velocidad constante v con respecto a A. Asignamos x y t al marco de referencia A, x' y t' al marco de referencia B.

Nota: Voy a tomar $c=1$ hasta el final.

Ahora consideremos que en algún t', medimos una longitud l con respecto a B. La longitud será igual a

$$l=(x'_p-x'_o)$$

Ahora escribamos las ecuaciones de transformación para $x'_p$ y $x'_o$ .

$$x'_p=\frac{x_p-vt}{\sqrt{1-v^2}}$$

Y

$$x'_o=\frac{x_o-vt}{\sqrt{1-v^2}}$$

Ahora sabemos cómo se transforma x y por lo tanto vamos a sustituirlos en nuestras ecuaciones de transformación.

Aquí consideraré un ejemplo sencillo, aunque se puede generalizar más. Para simplificar, consideremos las mediciones realizadas en t'=0, entre los puntos x'=0, y x'.

$$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}}$$

Ahora como hemos tomado $t'=0$ podemos suponer que $t=vx$ y a partir de aquí podemos reescribir nuestra ecuación de transformación como

$$x'=\frac{x-v^2x}{\sqrt{1-v^2}}$$

Esto nos va a dar

$$x'=x\sqrt{1-v^2}$$

Añadiendo la velocidad de la luz en obtenemos

$$x'=x\sqrt{1-v^2/c^2}$$

Ahora, según nuestra definición, ¿qué es x'? La longitud medida por el marco móvil, ¿qué es x? La longitud medida por el marco estacionario. La clave aquí está en la definición de longitud y tiempo, que aporta el concepto de longitud contracción y el tiempo dilatación

Leonard Susskind ofrece una explicación más clara en la serie de conferencias Theoretical Minimum .

También aquí hay un gráfico espacio-temporal de la relatividad especial, que funciona con los principios de las transformaciones de Lorentz, que mostrará físicamente cómo se producen los efectos

Answer 2

La página a la que se refiere está tomada de los apuntes de clase del Dr. Gary Oas [1], y se puede encontrar en este enlace: https://web.stanford.edu/~oas/SI/SRGR/notas/SRGRLect2_2010.pdf

Las últimas líneas de la imagen son una nota al margen sobre la equivalencia de los marcos de referencia inerciales, más que parte de la prueba de la contracción de la longitud. Yo lo entiendo de la siguiente manera. Suceden dos eventos:

[A] Andy mira a Bob (fundamentalmente, me refiero aquí a que ella mira su reloj [2]). En el momento en que "Bob pasa a Andy" Andy dice "oh, Bob ha tardado X segundos, medidos por su reloj, en pasar entre Alice y yo".

[B] Bob se mira a sí mismo (a su reloj). En el momento en que "Bob pasa a Andy" Bob dice "oh, he tardado X segundos en pasar entre Alice y Andy".

La clave es "Andy mira a Bob" en lugar de "Andy mira a Alice". Si Andy mirara a Alice (o a ella misma, a su reloj), pasarían "menos de X" segundos para que Bob se interpusiera entre ellos. Pero Alice no compara dos relojes diferentes en este ejemplo, sólo estamos mirando el reloj de Bob.

Otra forma de verlo es decir: la longitud entre Alice y Andy se contrae de forma similar desde ambos puntos de vista (el de Bob y el de Andy), mientras que la velocidad relativa entre ellos es la misma (desde ambos puntos de vista), por lo que el tiempo para que Bob pase la longitud contraída es el mismo tanto para Andy como para Bob.

Hemos terminado. Conectemos nuestros hallazgos con la forma en que está redactado en la imagen. $\Delta t'_B$ El tiempo medido por Bob visto por Bob, es equivalente al evento [B]. $\Delta t_B$ , el tiempo medido por Bob visto por Alice, involucra a Alice, por lo que reformulamos el evento A:

[A'] Alice mira a Bob. En el momento en que "Bob pasa a Andy" Alice dice "oh, Bob ha tardado X segundos en pasar entre Andy y yo".

El periodo de tiempo X es el mismo en los sucesos [A] y [A'] ya que Andy y Alice son estacionarios el uno respecto al otro. Podría haber escrito [A'] desde el principio, ahorrándonos un paso. Pero me pareció más cómodo imaginar primero la escena desde la perspectiva de Andy.

Como es el mismo X segundos en el evento [A'] y en el evento [B], podemos escribir $\Delta t_B$ = $\Delta t'_B$ .

Referencias y notas:

[1] Agradezco al Dr. Gary Oas su útil explicación por correo electrónico. El crédito es suyo. Sin embargo, cualquier error aquí es mío.

[2] Puede ser un reloj normal o, como yo prefiero a veces, un reloj de luz. Véase, por ejemplo, la figura 2 del artículo de Fred Behroozi, "A Simple Derivation of Time Dilation and Length Contraction in Special Relativity", The Physics Teacher 52, 410 (2014). https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.4895356