¿Cómo se obtienen estas 2 ecuaciones de aproximación de las distancias euclidianas?

Question

$$r\gg 0$$

$$r_{1}\approx r-\frac{d}{2}\cos(\theta)\tag{1}$$

$$r_{2}\approx r+\frac{d}{2}\cos(\theta)\tag{2}$$

¿Cómo se hacen las ecuaciones de aproximación anteriores?

Answer 1

Deja caer una perpendicular desde $A$ a la línea de longitud $r$ . Llama al punto de intersección $S$ . $OS = \frac{d}{2} \cos \theta$ . El argumento es que $AP$ y $SP$ son aproximadamente iguales en longitud, porque $\phi = \angle AOS$ es muy pequeño. (¿Ves por qué se deduce?)

Del mismo modo, para $O$ y $B$ .

Answer 2

Utilizar la ley de los cosenos y $d\ll r$

$r_1^2=r^2+(d/2)^2-dr\cos(\theta)$

$r_2^2=r^2+(d/2)^2+dr\cos(\theta)$

Dividir por $r^2$ y conseguir: $(r_1/r)^2=1+(d/2r)^2-(d/r)\cos(\theta)$

Utilice $d\ll r$ y expandir la raíz cuadrada a primer orden para obtener $r_1/r\approx 1-(d/2r)\cos(\theta)$ o $r_1\approx r-(d/2)\cos(\theta)$

Asimismo, $r_2\approx r+(d/2)\cos(\theta)$