$p-1$ divide ord( $x$ )

Question

Dejemos que $x$ sea una raíz primitiva módulo $p$ . Tengo que demostrar que $p-1$ divide ord( $x$ ) donde $x\in\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ . Antes tuve que probar los siguientes resultados (en los que tuve éxito): $(1+p)^{p^n}\equiv 1+p^{n+1}\text{ (mod }p^{n+2})$ y ord( $1+p$ ) $=p^{n-1}$ donde $1+p\in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$

He estado pensando mucho en ello, pero no puedo entenderlo. ¡Realmente necesito consejos! Gracias.

Answer 1

No necesitará mucha maquinaria para la prueba. Dejemos que $d$ sea el orden de $x$ modulo $p^n$ . Entonces, en particular $x^d \equiv 1\pmod{p^n}$ .

De ello se desprende que $x^d\equiv 1 \pmod{p}$ . Así, el orden de $x$ modulo $p$ divide $d$ . Esta orden es $p-1$ .