Explicación heurística de por qué perdemos los proyectivos en las gavillas.

Question

Sabemos que los presheaves de cualquier categoría tienen suficientes projetivos y que los sheaves no, ¿por qué es esto, y cómo afecta a nuestro pensamiento?

Este La pregunta se hizo (y me pareció muy útil) pero esperaba entender mejor el porqué.

Estaba pensando en la siguiente construcción (dada durante un curso);

dado un recubrimiento afín, normalmente estudiamos las láminas cuasi-coherentes, pero de hecho podríamos estudiar las preformas en el siguiente sentido:

Dada una cubierta afín de X,

$Ker_2\left(\pi\right)\rightrightarrows^{p_1}_{p_2} U\rightarrow X$

entonces podemos definir $X_1:=Cok\left(p_1,p_2\right)$ , un presheaf, para obtener refinamientos en presheaves donde tenemos suficientes projetivos y los sheaves cuasi-coherentes coinciden. En concreto, si $X_1\xrightarrow{\varphi}X$ para un plan $X$ , s.t. $\mathcal{S}\left(\varphi\right)\in Isom$ para $\mathcal{S}(-)$ es el functor de sheaffication, entonces para todas las cubiertas afines $U_i\xrightarrow{u_i}X$ existe un refinamiento $V_{ij}\xrightarrow{u_{ij}}U_i$ que factores a través de $\varphi$ .

Esto depende del hecho de que $V_{ij}$ es representable y, por lo tanto, proyectiva, resultado del hecho de que estamos trabajando con presheaves. En las láminas, perderíamos estos refinamientos. Además, estos pretoeslabones no dependen de la topología específica (a costa del encolado).

En este escenario, perdemos los proyectivos porque estamos aplicando el functor de localización que no es exacto (sólo exacto a la derecha). Sin embargo, no entiendo muy bien esta razón, y me gustaría una respuesta más general.

Una aparición relacionada con esta pérdida se da en el álgebra homológica. Las láminas no tienen suficientes proyectivos, por lo que no siempre podemos obtener resoluciones proyectivas. Sí tienen resoluciones inyectivas, y esto está relacionado con el uso de la cohomología de las láminas en lugar de la homología de las láminas. En particular, en Rotman's Homological Algebra pg 314, da una nota al pie;

En La teoría de las láminas, Swan escribe "...si el espacio base X no es discreto, no conozco de ningún ejemplo de gavilla proyectiva excepto la gavilla cero". En Bredon, Teoría de la gavilla : en espacios Hausdorff localmente conectados sin puntos aislados, el único gavilla proyectiva es 0

para abordar esta situación.

En esencia, mi pregunta es por una explicación heurística o geométrica de por qué perdemos los proyectivos cuando pasamos de presheaves a sheaves.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una de las razones es que la subjetividad de un mapa de gavillas es una condición más débil que la subjetividad de un mapa de pregavillas. Para que un mapa de gavillas sea subjetivo, sólo tiene que serlo en los tallos.

Recordemos la definición de gavilla proyectiva $\mathcal{P}$ : Supongamos que $\mathcal{N} \rightarrow \mathcal{M}$ es un mapa suryectivo de las esquilas y $\mathcal{P} \rightarrow \mathcal{M}$ es un mapa de gavillas. Entonces requerimos que exista un levantamiento $\mathcal{P} \rightarrow \mathcal{N}$ haciendo que el diagrama obvio conmute. Debido a la definición de suryectividad para las gavillas, probablemente haya un conjunto abierto $U$ para el que el mapa $\mathcal{N}(U) \mapsto \mathcal{M}(U)$ no es sobreyectiva. Así que si $\mathcal{P}(U)$ no se corresponde con la imagen, entonces no hay esperanza de un levantamiento. En todos los casos, excepto en los triviales (como los espacios discretos), será fácil elaborar un mapa $\mathcal{N} \rightarrow \mathcal{M}$ para hacer esto.

Para los presheaves, la surjectividad significa surjectividad en cada conjunto abierto, por lo que este problema no se da. Pero los presheaves como categoría abeliana no son muy interesantes. Por ejemplo, el rigor de la subjetividad significa que no hay cohomología.

Answer 2

Esta es más o menos la respuesta de Dinakar desde un punto de vista diferente: dice que es demasiado fácil que un morfismo de gavilla sea un epi, así que, como hay tantos epis, ahora es un requisito más fuerte que para cada epi encontramos una elevación - tan fuerte que no se satisface la mayoría de las veces. Sólo quiero llamar la atención sobre el hecho de que este problema no tiene nada que ver con gavillas de módulos, sino que se trata de gavillas de conjuntos - y como tal tiene la siguiente interpretación agradable:

La condición de ser una gavilla de módulos proyectivos puede dividirse en dos condiciones: La de existencia del mapa de elevación como morfismo de gavillas de conjuntos y la de ser un morfismo de láminas de módulos .

En la categoría de conjuntos la primera condición se satisface siempre; tenemos el axioma de elección que dice que todo epimorfismo tiene una sección y componiendo el morfismo de nuestro supuesto proyectivo con esta sección se produce un levantamiento - teóricamente de conjuntos. Entonces hay que establecer que uno de esos ascensos es un homomorfismo de módulo.

Pero en una categoría de gavilla el paso uno puede fallar. Las gavillas (de conjuntos) son objetos de la categoría de gavillas. Esta categoría es un topos y puede verse como un universo teórico de conjuntos intuicionista (en un sentido preciso: hay una semántica de topos sólida y completa para la lógica intuicionista, véase por ejemplo este libro ). Ahora bien, en un universo intuicionista de conjuntos, el axioma de elección no es válido en general; podría no haber un "conjunto-teórico" ¡sección del epimorfismo!

Answer 3

He aquí una respuesta a una pregunta ligeramente diferente, a saber, qué se puede hacer una vez que se ha establecido que las láminas proyectivas no existen con mucha frecuencia. Para un esquema no afín, no se conoce ningún análogo de las láminas proyectivas cuasi-coherentes en un esquema afín, pero sí existe un análogo de la categoría de homotopía no limitada de complejos de los proyectiles.

En concreto, Amnon Neeman ha probada que la categoría de homotopía de complejos de módulos proyectivos sobre un anillo (arbitrario, no conmutativo) es equivalente a la categoría cociente de la categoría de homotopía de complejos de módulos planos por la subcategoría triangulada de complejos acíclicos de módulos planos con módulos planos de cocíclicos. Basándose en este resultado, Daniel Murfet en su tesis doctoral estudios el categoría de homotopía simulada de los proyectivos en un esquema noetheriano separado, definido como la categoría cociente de la categoría de homotopía de complejos no acotados de tramas planas cuasi-coherentes por la subcategoría triangulada de complejos acíclicos puros.

Answer 4

Podemos dar la vuelta a la pregunta para preguntarnos: ¿por qué tenemos projetivos en categorías de módulos? Una respuesta es que sabemos que tenemos un abundante suministro de proyectivos porque los módulos libres son proyectivos. En abstracto, tenemos un functor olvidadizo $U : \text{Mod}(R) \to \text{Set}$ con el adjunto izquierdo $F : \text{Set} \to \text{Mod}(R)$ . Entonces tenemos los dos resultados siguientes:

1. Por el axioma de elección, todo conjunto es proyectivo (en el sentido de que los homs que salen de él preservan los epimorfismos).
2. Si un functor $U$ con un adjunto izquierdo preserva los epimorfismos, entonces su adjunto izquierdo $F$ preserva los objetivos.

Por último, es sencillo comprobar que $U$ de hecho preserva los epimorfismos (es decir, los epimorfismos de $R$ -son suryentes en los conjuntos subyacentes).

Ahora, ¿cuál es la situación análoga para las gavillas? Seguimos teniendo un functor olvidadizo $U : \text{Sh}(X) \to \text{Psh}(X)$ y sigue teniendo un adjunto a la izquierda, la sheafificación. Sin embargo, $U$ ya no preserva los epimorfismos (esto es exactamente la observación de Dinakar de que un epimorfismo de gavillas no tiene por qué ser un epimorfismo de pregavillas), por lo que el argumento anterior no se cumple.

Para las gavillas lo que podemos hacer en cambio es lo siguiente. Hay un funtor de olvido diferente que envía una gavilla sobre $X$ a sus tallos; se puede pensar en un retroceso $p^{\ast}$ a lo largo del mapa $p : X_d \to X$ donde $X_d$ denota $X$ con la topología discreta. Como pullback, este functor tiene un a la derecha adjunto, es decir, pushforward $p_{\ast}$ . El compuesto $p_{\ast} p^{\ast}$ es el Construcción de Godement . En cualquier caso, un argumento dual a lo anterior muestra que porque el pullback $p^{\ast}$ preserva los monomorfismos, su adjunto derecho $p_{\ast}$ conserva los injertos. Así que ahora, en lugar de un abundante suministro de proyectiles, tenemos un abundante suministro de inyectiles.

Answer 5

Lo siento si esto es una tontería; pero ¿podría tener algo que ver con la necesidad en la categoría de gavilla de considerar el cokernel de gavilla presheaf para poder hablar de proyecciones? es decir, yo (creo que) puedo imaginar una prehaya no trivial con sólo tallos triviales, de modo que su sheafificación es trivial; por otra parte, los morfismos de gavilla son simplemente los mismos que los morfismos de presheaf entre gavillas. De ahí que probablemente haya demasiados morfismos de gavilla con cokernel trivial.