¿Existe una distancia máxima desde un planeta que una luna pueda orbitar?

Question

Dado un planeta que orbita alrededor de una estrella, y una luna que orbita alrededor de ese planeta, ¿es posible definir un radio orbital máximo de esa luna, más allá del cual la luna ya no orbitaría el planeta, sino la estrella?

Al principio pensé (ingenuamente) que este punto sería donde la gravedad de la estrella superara a la del planeta:

$$d_\text{max} = d_\mathrm p - d_\mathrm px$$

$$x = \frac{1}{\sqrt{\frac{m_\mathrm p}{m_\mathrm s}}+1}$$

Dónde:

$d_\text{max} = $ radio orbital máximo de la luna (alrededor del planeta), $d_\mathrm p =$ radio orbital del planeta (alrededor del sol), $m_\mathrm p =$ masa del planeta, $m_\mathrm s = $ masa de la estrella.

Pero rápidamente me di cuenta de que esta suposición era errónea (a no ser que mis chapuceras matemáticas estén equivocadas, lo cual es muy posible), porque esto da un valor de $258\,772\ \mathrm{km}$ utilizando los valores del Sol, la Luna y la Tierra. $125\,627\ \mathrm{km}$ más cerca de la Tierra que el radio orbital real de la Luna (valores de Wikipedia).

¿Existe una distancia orbital máxima? ¿Cómo se puede calcular?

Answer 1

El concepto que buscas es el de un planeta Esfera de la colina. Si un planeta de masa $m$ está en una órbita aproximadamente circular de radio $a$ sobre una estrella de masa $M$ entonces el radio de esta "esfera" viene dado por $$ r_H = a \sqrt[3]{\frac{m}{3M}}. $$ Para el sistema Sol-Tierra, esto da como resultado $r_H \approx 0.01 \text{ AU}$ o alrededor de 1,5 millones de kilómetros.

El cálculo que aparece en el artículo de la Wikipedia muestra cómo derivar esto en términos de marcos de referencia giratorios. Pero para una explicación cualitativa de por qué su razonamiento no funcionó, hay que recordar que la luna y el planeta no están inmóviles; ambos están acelerando hacia la estrella. Esto significa que no es todo el peso de la luna lo que importa, sino la fuerza de marea sobre la luna medida en el marco del planeta. Este efecto, junto con el hecho de que la fuerza centrípeta necesaria para que la estrella "robe" al planeta es un poco menor cuando la luna está entre la estrella y el planeta, conduce a la expresión dada anteriormente.

Como señala @uhoh en los comentarios, los L1 y L2 Tierra-Sol Puntos de Lagrange están precisamente a esta distancia de la Tierra. Estos son precisamente los puntos en los que las fuerzas gravitatorias de la Tierra y el Sol se combinan de tal manera que un objeto puede orbitar el Sol con el mismo período que la Tierra, pero con un radio diferente. En un marco de referencia giratorio, esto significa que las influencias de la Tierra, el Sol y la fuerza centrífuga se anulan con precisión; si se acerca más a la Tierra, las fuerzas terrestres dominan. Así, los puntos de Lagrange L1 y L2 están en el límite de la esfera de Hill.

Answer 2

Lo que hay que buscar es el Esfera de la colina . La distancia resultante es de aproximadamente 1,5 millones de kilómetros.

Answer 3

Hay varias formas de caracterizar si algo está "realmente" en órbita alrededor del sol o de la Tierra. Una de ellas es preguntar qué fuerza gravitatoria es mayor. Como has comprobado, según ese criterio, la Luna orbita principalmente alrededor del Sol, siendo su órbita próxima a la de la Tierra. Otro criterio sería mirar qué energía potencial gravitatoria de un cuerpo domina: si quisieras volar un cohete desde la Luna hasta fuera del sistema solar, ¿qué gravedad de un cuerpo contribuiría más a la energía que necesitarías? Para esa pregunta, está más claro que la Luna está en órbita alrededor del Sol que la Tierra. Pero también se puede preguntar en qué momento la gravedad de la Tierra sería tan débil que las perturbaciones del sol sacarían a la luna de una órbita estable, lo que da la esfera de Hill, de la que la luna está bien situada. Hay otros pares de cuerpos, como Plutón y Caronte, para los que estas distintas definiciones también dan respuestas diferentes.