¿Cómo proceder en esta pregunta de Números Complejos y Polinomios?

Question

¿Cómo proceder en la pregunta 15?

En primer lugar, es obvio que $x=0$ será una raíz. Entonces pongo $x=1/x$ y vio que la ecuación será la misma. Entonces, si $z$ es una raíz, entonces $1/z$ también será una raíz. Además, la ecuación tiene coeficientes racionales, por lo que las raíces imaginarias vendrán en pares conjugados. Después de esto estoy atascado, no soy capaz de continuar.

Answer 1

Dejemos que $c_k$ sean los coeficientes del polinomio. Si se hace un gráfico de $(k,c_k)$ notarás que forma un triángulo simétrico. Recordemos que si convoluta dos funciones escalonadas, se obtiene un triángulo simétrico. Esto significa que que el polinomio puede ser factorizado como

$$x(1+x+x^2+\cdots+x^{23})^2 = x\left(\frac{x^{24}-1}{x-1}\right)^2$$

Como resultado, las raíces distintas no nulas de la misma tienen la forma $\omega^k, k = 1,\cdots, 23$ donde $\omega = e^{\frac{\pi}{12}i}$ es la primitiva $24^{th}$ raíz de la unidad. La suma que quieres es simplemente $\sum_{k=1}^{23}\left|\Im \omega^{2k}\right|$ .

Desde $\Im(\omega^{2(k+6)}) = -\Im \omega^{2k}$ tenemos $$\sum_{k=1}^{23}\left|\Im \omega^{2k}\right| = \sum_{k=0}^{23}\left|\Im \omega^{2k}\right| = 4 \sum_{k=0}^{5}\left|\Im \omega^{2k}\right| = 4\left(\frac12 + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac12\right) = 8 + 4\sqrt{3}$$