Pregunta sobre una propiedad de la función integrable

Question

Para $(\mathbb{R}^d, \mathcal{M}, m)$ , donde $m$ aquí está la extensión habitual de la medida exterior $m_*$ definido por el volumen de bolas abiertas, si $f \in L^1({\mathbb{R}^d})$ , entonces para cada $\epsilon >0$ existe un conjunto de medida finita $B$ (bola abierta de instancia) tal que $$\int_{B^c} f(x) dm < \epsilon$$ Mi pregunta es: ¿Se mantiene esta propiedad si consideramos un caso más general en el que $(X, \mathcal{A}, \mu)$ a $\sigma-$ espacio medible finito, y $f$ es un $L^1(X)$ ¿función?

Answer 1

Para el espacio general, si $f \geqslant 0$ entonces desde $f$ es integrable, dado $\epsilon > 0$ existe una función simple $\phi$ tal que $0 \leqslant \phi \leqslant f$ y

$$\int_X f- \epsilon/2 \leqslant \int_x \phi \\ \implies \int_X (f - \phi) \leqslant \epsilon/2.$$

Desde $\phi$ es simple y asume un número finito de valores, existe $M> 0$ tal que $0 \leqslant \phi(x) \leqslant M$ . Tome $\delta = \epsilon/(2M)$ y para cualquier medida $E$ con $\mu(E) < \delta $ tenemos

$$\int_E f = \int_E(f-\phi) + \int_E \phi \leqslant \epsilon/2 + M \mu(E) < \epsilon.$$

En general, si $f$ no es negativo, aplique por separado este resultado a las partes positivas y negativas de $f$ para obtener

$$\left|\int_E f \right| \leqslant \int_E |f| < \epsilon.$$

Además, con $0 \leqslant \phi \leqslant f$ la función simple $\phi$ es integrable sobre $X$ y debemos tener $\mu(B) < \infty$ où $B = \{x \in X: \phi(x) > 0 \}$ es medible y

$$\int_{X \setminus B} f = \int_{X \setminus B} (f - \phi) + \int_{X \setminus B} \phi = \int_{X \setminus B} (f - \phi) \leqslant \int_{X} (f - \phi) \leqslant \epsilon/2 < \epsilon.$$

De nuevo, este resultado se puede generalizar para las funciones $f$ que no son no negativas.