Contar Cuántas manos de cartas utilizan los cuatro palos

Question

De una baraja estándar de 52 cartas, ¿cuántas maneras hay para escoger una mano de $k$ tarjetas que incluye una tarjeta de cada cuatro palos?

Sé que, para un determinado $k$, es posible que se rompen en casos basados en las particiones de $k$ en cuatro partes. Por ejemplo, si quiero escoger una mano de seis cartas, me pueden dividir en dos casos en función de si hay o no (1) tres cartas del mismo palo y una tarjeta de cada uno de los otros tres, o dos (2) cartas de cada uno de los dos palos y una tarjeta de cada uno de los otros dos.

Es allí una manera más simple, la solución más general que no requiere dividir el problema en muchos casos diferentes?

Answer 1

Contar el número de manos que no contienen al menos una tarjeta de cada traje y restar el número total de k-tarjeta de las manos. Para contar el número de manos que no contienen al menos una carta de cada palo, inclusión-exclusión, teniendo en cuenta qué trajes no están en una mano determinada. Es decir, dejando $N(\dots)$ significa que el número de la reunión de los criterios dados, $$\begin{align} &N(\mathrm{no\ }\heartsuit)+N(\mathrm{no\ }\spadesuit)+N(\mathrm{no\ }\clubsuit)+N(\mathrm{no\ }\diamondsuit) \\ &\quad\quad-N(\mathrm{no\ }\heartsuit\spadesuit)-N(\mathrm{no\ }\heartsuit\clubsuit)-N(\mathrm{no\ }\heartsuit\diamondsuit)-N(\mathrm{no\ }\spadesuit\clubsuit)-N(\mathrm{no\ }\spadesuit\diamondsuit)-N(\mathrm{no\ }\clubsuit\diamondsuit) \\ &\quad\quad+N(\mathrm{no\ }\heartsuit\spadesuit\clubsuit)+N(\mathrm{no\ }\heartsuit\spadesuit\diamondsuit)+N(\mathrm{no\ }\heartsuit\clubsuit\diamondsuit)+N(\mathrm{no\ }\spadesuit\clubsuit\diamondsuit) \\ &\quad\quad-N(\mathrm{no\ }\heartsuit\spadesuit\clubsuit\diamondsuit) \\ &=4{39 \choose k}-6{26 \choose k}+4{13 \choose k}-{0 \choose k}. \end{align}$$

Así, el número de manos de k las tarjetas que incluyen al menos una carta de cada palo es $${52 \choose k}-4{39 \choose k}+6{26 \choose k}-4{13 \choose k}+{0 \choose k}.$$ [Caída de términos como apropiado para valores grandes de k.]