Dado $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ y $A\in (\mathbb{M_n(R}))$ tal que $f(x) = x^{t}Ax.$ Quiero encontrar la derivada de este mapa y demostrar que es $C^{1}$ . Este problema se ha respondido parcialmente antes asumiendo que $A$ es simétrica, pero nótese que en este caso que $A$ no es necesariamente simétrica. Por lo tanto, la derivada $$df_x(h) = x^tAh+h^tAx.$$ El mapa es claramente lineal, pero para demostrar que es continuo, no estoy seguro de si estoy utilizando las desigualdades correctas: $$|df_x(h)|=|x^tAh|+|h^tAx|\leq 2||x||\cdot ||A||\cdot ||h||$$ Esto demuestra que $df_x$ es continua. Para demostrar que es $C^{1}$ hacemos lo siguiente: $$|df_x(h)-df_y(h)|\leq 2||h||\cdot ||A||\cdot ||x-y||.$$ No estoy seguro de que estas desigualdades sean correctas, pero las uso porque he visto algunas correcciones de ejercicios similares a este problema. Cualquier pista/sugerencia será muy apreciada.
Respuesta
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La derivada direccional que tiene para $d_{x}f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ es correcto, y como se dice en los comentarios que un mapa lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita es continuo si es lineal (lo que equivale a la acotación con mapas lineales y espacios vectoriales de dimensión finita).
Sin embargo, de forma más explícita, se puede proceder como: para todo $\epsilon > 0$ Supongamos que $y,z \in \mathbb{R}^{n}$ son tales que $\| y - z \| < \epsilon$ . Entonces, para un $x \in \mathbb{R}^{n}$ y $A \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ ,
$$ d_{x}f(y) - d_{x}f(z) = x^{T}Ay + y^{T}Ax - x^{T}Az - z^{T}Ax\\ = x^{T}A(y-z) + (y-z)^{T} Ax $$ y, por tanto, con respecto a cualquier norma (todas las normas son equivalentes en espacios vectoriales de dimensión finita), $$ \| d_{x}f(y) - d_{x}f(z) \| = \| x^{T}A(y-z) + (y-z)^{T} Ax \| \leq 2\|x\| \|A\|\|y - z \| < 2\|x\| \|A\| \epsilon. $$ Así que como ambos $x\in \mathbb{R}^{n}$ y $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ son fijos, podemos establecer $\delta := 2\| x \| \| A \| \epsilon$ entonces, formalmente: Para cualquier $\epsilon > 0$ tal que $\| y - z \| < \epsilon$ existe un $\delta > 0$ tal que $$ \|y - z\|< \epsilon \implies \| d_{x}f(y) - d_{x}f(z)\| < \delta $$
