Para un determinado cardinal $\kappa>\omega$ , dejemos que $\Sigma=\{x\in D^\kappa: |x^{-1}(1)|\le \omega\}$ ser un $\Sigma$ -Producto en el cubo de Cantor.
Entonces cómo demostrar que el cierre de cualquier subconjunto contable de $\Sigma$ -¿El producto es compacto y metrizable? Pude ver que es compacto, sin embargo, todavía no puedo conseguir que el espacio sea metrizable.
Gracias por su ayuda.
Dado un subconjunto contable $C$ de $\Sigma$ ya que cada elemento de $C$ tiene (por definición de $\Sigma$ ) soporte contable, la unión $U$ de los soportes de todos los elementos (contables) de $C$ sigue siendo contable. Además, cualquier elemento del cierre de $C$ también tendrá su apoyo incluido en $U$ . Así que el cierre de $C$ es homeomorfo a un subconjunto de $D^U$ que es metrizable porque $U$ es contable.
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