Ecuación diferencial ordinaria con términos polinómicos

Question

La ecuación original que tenía era:

$$-y''+(x^2+2x^4-2\alpha)y=0$$

Donde $\alpha$ es un parámetro real $\geq 0$ y requerimos que las soluciones vayan a $0$ en el infinito. Con la sustitución $y=p(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$ Tengo la ecuación:

$$-p''+2xp'+p(1+2x^4-2\alpha)=0$$

Probé el método de las series de potencia, obteniendo:

$$a_2=(\frac{1}{2}-\alpha)a_0$$ $$a_3=\frac{(\frac{3}{2}-\alpha)a_1}{3}$$ $$a_4=\frac{(\frac{5}{2}-\alpha)(\frac{1}{2}-\alpha)a_0}{6}$$ $$a_5=\frac{(\frac{7}{2}-\alpha)(\frac{3}{2}-\alpha)a_1}{30}$$

Y después $n=4$ :

$$a_{n+2}=\frac{2(n+\frac{1}{2}-\alpha)a_n+2a_{n-4}}{(n+1)(n+2)}$$

¿Se conocen las soluciones de esta ecuación? ¿Qué harías tú?

Answer 1

Una pista:

Dejemos que $u=x^2$ ,

Entonces $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=2x\dfrac{dy}{du}$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(2x\dfrac{dy}{du}\right)=2x\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{du}\right)+2\dfrac{dy}{du}=2x\dfrac{d}{du}\left(\dfrac{dy}{du}\right)\dfrac{du}{dx}+2\dfrac{dy}{du}=2x\dfrac{d^2y}{du^2}2x+2\dfrac{dy}{du}=4x^2\dfrac{d^2y}{du^2}+2\dfrac{dy}{du}=4u\dfrac{d^2y}{du^2}+2\dfrac{dy}{du}$

$\therefore4u\dfrac{d^2y}{du^2}+2\dfrac{dy}{du}-(2u^2+u-2\alpha)y=0$