Suma de variables aleatorias con distribución de Cauchy

Question

El problema: Dejemos que $X_1, X_2, \ldots $ ser independiente $C(0,1)$ y establecer $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ . Demostrar que $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{S_k}{k}\sim C(0,1)$ .

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Utilizando la función característica es fácil obtener que $\frac{S_k}{k}$ es $C(0,1)$ . Pero $Y_k=\frac{S_k}{k}$ no son independientes para diferentes $k$ por lo que no se puede aplicar directamente en este caso.

Answer 1

Dejemos que $T_n=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n\frac1kS_k$ entonces $T_n=\sum\limits_{k=1}^nt_{k,n}X_k$ para unos coeficientes $(t_{k,n})_{1\leqslant k\leqslant n}$ sumando a $1$ cuyos valores son irrelevantes. Ahora, $u$ veces una variable aleatoria centrada de Cauchy con parámetro $v$ es una variable aleatoria centrada de Cauchy con parámetro $uv$ y la suma de variables aleatorias centradas independientes de Cauchy con parámetros $u$ y $v$ es Cauchy centrado con parámetro $u+v$ .

Por lo tanto, si el $(X_k)_k$ son independientes y cada $X_k$ es Cauchy centrado con parámetro $x_k$ entonces $T_n$ es Cauchy centrado con parámetro $t_n=\sum\limits_{k=1}^nt_{k,n}x_{k}$ . En el presente caso, $x_k=1$ por cada $k\geqslant1$ por lo que $t_n=1$ por cada $n\geqslant1$ .