50% de corte en la distribución multinormal

Question

Estoy haciendo algunas visualizaciones y estoy tratando de hacer el contorno de una elipse dentro de la cual hay un 50% de probabilidad de encontrar el resultado dada la medición siguiendo la normal bivariada.

Más formalmente:

Encuentre $q$ región s.t. $U = \{x : f(x) > q\}$ tiene $\mathbb{P}(U)=0.5$ donde $f$ es el pdf de una gaussiana bivariante con cierta correlación.

¿Existe una fórmula conocida para $q$ ? ¿Tiene éste (y otros valores de corte similares para otras distribuciones) algún nombre establecido?

Answer 1

Proporcionaré una solución para una dimensión arbitraria $n$ y la probabilidad $p$ como $\mathbb{P}(\{x:f(x)>q\})=p$ lo que da un resultado sencillo para $n=2$ . Notación: $x^2 =||x||_2^2,\ |A| = \det A$

1. Descomposición Cholesky de la matriz de covarianza $$\Sigma = A^TA$$ Tenga en cuenta que $|\Sigma| = |A|^2$ .

2. Sustitución $$x = F(y) = \mu + Ay$$

3. Resolver para $f(x) \geq q$ $$f(x) = \alpha e^{-\frac12(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)} = \alpha e^{-\frac12y^2}, \ \alpha = (2\pi)^{-n/2}|\Sigma|^{-1/2}$$ $$y^2 \leq -2\ln(q/\alpha) =: R^2_q$$

4. Cálculo de $\int_{\{f(x)\geq q\}}f(x)dx$ \begin{align} p&=\int_{\{f(x)\geq q\}}f(x)dx =\int_{\{y^2\leq R^2_q\}}\alpha e^{-\frac12y^2} |A|dy =\alpha|A|\int_0^{R_q}\left(\int_{S^{n-1}} e^{-\frac12(rs)^2}ds\right)r^{n-1}dr \\ &=\alpha|A|\mu(S^{n-1})\int_0^{R_q}r^{n-1}e^{-\frac12r^2}dr =(2\pi)^{-n/2}\mu(S^{n-1})\int_0^{R_q}r^{n-1}e^{-\frac12r^2}dr \end{align} $\mu(S^{n-1})$ siendo la medida de la superficie de la esfera unitaria en $\mathbb{R}^n$ .

5. Habiendo resuelto para $R_q$ la elipsis de corte deseada es $F(R_qS^{n-1})$ et $q = \alpha e^{-\frac12R_q^2}$

Para $n=2$ es la siguiente: $$p = \frac{2\pi}{2\pi}\int_0^{R_q}re^{-\frac12r^2}dr = [-e^{-\frac12r^2}]_{r=0}^{R_q} = 1 - e^{-R_q^2/2}$$ $$R_q = \sqrt{-2\ln(1 - p)}$$

¡Salud!

Answer 2

Esta no es la respuesta completa.

¿Busca una visualización como la de la parcela de abajo? Se puede ver en el gráfico un área de confianza del 50% para una cópula normal bivariada.