Una forma diferente de determinante, ¿hace que la mía sea incorrecta?

Question

Calcula el determinante de lo siguiente $(n+1) \times (n+1)$ matriz:

$$A = \pmatrix{1 & 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & a_1 & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ 1 & 0 & a_2 & 0 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ & & & & \cdots & \\ 1 &0 & 0 & 0 & \cdots & a_n }$$

Así que primero hice las operaciones de fila donde dividí todas las filas $i > 1$ por $\frac{1}{a_1}$ para conseguir

$$\pmatrix{1 & 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 \\ \frac{1}{a_1} & 1 & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ \frac{1}{a_2} & 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ & & & & \cdots & \\ \frac{1}{a_n} &0 & 0 & 0 & \cdots & 1 }$$

y luego hizo las operaciones de fila $R_1 - R_{i}$ y consiguió

$$\pmatrix{1 - \sum_{i = 1}^na_1 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ \frac{1}{a_1} & 1 & 0 & 0 &\cdots & 0 \\ \frac{1}{a_2} & 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ & & & & \cdots & \\ \frac{1}{a_n} &0 & 0 & 0 & \cdots & 1 }$$

lo que me da una matriz triangular inferior y así mi determinante es sólo el producto de todos los elementos de la diagonal principal que es

$$\left( 1 - \sum_{i = 1}^n \frac{1}{a_i} \right) \cdot (1)^n = 1 - \sum_{i = 1}^n \frac{1}{a_i}$$

pero en las respuestas dice que debería ser

$$a_1 \cdots a_n \sum_{i = 1}^n \prod_{i \neq j}a_j $$

que parece ser mi matriz sin haber hecho el $\frac{R_i}{a_i}$ operaciones de fila. ¿Esto hace que mi determinante sea incorrecto?

Answer 1

Su determinante no es incorrecto en el sentido de que todavía se puede utilizar para probar la singularidad, siempre y cuando nunca se escala por cero. Sin embargo, no posee otras bonitas, elegantes e importantes propiedades del determinante estándar.

Tomando la norma como referencia, tu cálculo rompe una regla: Multiplicar la fila (o columna) de una matriz por un escalar $s$ cambia su determinante también por un factor de $s$ . Esto es un resultado directo de la definición de determinante que se da en el álgebra lineal. Alternativamente, si se consideran los determinantes tal y como se definen en la expansión de permutaciones, es fácil comprobar que esta regla surge como una propiedad.

Se me ocurren tres formas intuitivas de justificar esta regla:

1. Toma la matriz identidad, y multiplica una fila por $s=0$ . Es evidente que ahora es singular, por lo que su determinante debe haber cambiado (de uno) a cero.
2. Si te gusta la explicación geométrica del volumen con signo de los determinantes, entonces también es fácil ver que si multiplicas un vector por $s$ El volumen cambiará en consecuencia.
3. Toma un $2 \times 2$ como prototipo para determinantes de cualquier dimensión, con entradas $a,b,c,d$ y resolver cuando es que siempre se puede resolver como una ecuación lineal.
   $ax_1+bx_2=c_1$
   $cx_1+dx_2=c_2$
   da
   $ax_1+bx_2=c_1$
   $0+(d-bc/a)x_2=c_2$
   Que siempre es solucionable dado que $(d-bc/a) \neq 0$ y así $ad-bc \neq 0$ . Si entonces está de acuerdo en que $ad-bc$ es el determinante, entonces obviamente, al escalar una fila se escalará el determinante.

Lo que has calculado es el determinante estándar multiplicado por todas las escalas de filas de tu primer paso. Para "arreglarlo", tienes que multiplicarlo por sus inversos.

Nota: Un comentario dice que hacer la operación de fila altera su matriz y por lo tanto su determinante. Ten en cuenta que esto es válido para la operación de escalado de filas, pero no cuando se combinan linealmente dos filas. En ese caso, tu matriz también "cambia" pero el determinante no.