Dejemos que $S$ sea una superficie orientable compacta dotada de una métrica euclidiana singular $g$ con $n$ singularidades cónicas $x_1,\ldots,x_n$ .
Construcción 1: es bien sabido que la clase conforme $[g]$ de la métrica hace de $S$ una superficie de Riemann, denotada por $X$ . Luego a la pareja $(S,g)$ se puede asociar el $n$ -superficie de Riemann perforada $(X,\{x_i\}_{ i=1}^n)$ (véase [B] de [T] para una referencia moderna)
Hay otra forma de asociar una superficie de Riemann perforada a $(S,g)$ :
Construcción 2: el Teselación de Delaunay ${\cal D }(S,g)$ asociado a $g$ es una teselación poliédrica particular de $S$ por $g$ -polígonos cíclicos euclidianos con un conjunto de vértices igual a $V=\{x_1,\ldots,x_n\}$ . Está canónicamente unido a $g$ por lo que hace de $S$ una superficie poliédrica euclidiana.
Supongamos (para simplificar) que ${\cal D }(S,g)$ es una triangulación de $S$ Cualquier 2 caras $T$ de ${\cal D }(S,g)$ es un triángulo euclidiano inscrito en un círculo $C_T$ . Considerando este último como el límite del modelo de Klein del disco hiperbólico, se puede ver $T$ como un triángulo hiperbólico ideal. Pegando las 2 caras de ${\cal D}(S,g)$ con estas estructuras hiperbólicas ideales, se obtiene una estructura hiperbólica completa sobre $S\setminus \{x_i\}$ con cúspides en las singularidades iniciales $x_1,\ldots,x_n$ . Denotemos por $X'$ esta superficie hiperbólica.
Es clásico que $(X',\{x_i\}_{ i=1}^n)$ puede ser visto como un $n$ -superficie de Riemann perforada.
(esta construcción, que utiliza coordenadas de cizallamiento para pegar las 2 caras de la triangulación de Delaunay se debe a Rivin; la construcción equivalente descrita anteriormente utilizando el modelo de Klein del disco hiperbólico está tomada de [BPS]).
En [R,Sect. 7], se dice que la Construcción 1 y la Construcción 2 conducen a superficies de Riemann distintas, es decir, las dos $n$ -superficies de Riemann perforadas $(X,\{x_i\})$ y $(X',\{x_i\})$ son distintos en general (una "observación" atribuida a C.T. McMullen).
- ¿Entiendo bien las cosas?
- En caso afirmativo, me interesaría conocer algunos detalles sobre este hecho.
- Algunos ejemplos (¿concretos?) serían bienvenidos.
- También algunas referencias (si las hay).
Gracias de antemano por cualquier ayuda.
Referencias:
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[Bers, superficies de Riemann;
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[BPS] Bobenko, Pinkall & Springborn, Mapas conformes discretos y poliedros hiperbólicos ideales ;
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[R] Rivin, Optimización combinatoria en geometría ;
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[T] Troyanov, Superficies euclidianas con singularidades cónicas ;
