Estoy trabajando en un isomorfismo (en términos de orden y operaciones) del conjunto de potencias de los números enteros a R. Me gustaría saber si alguien conoce alguna construcción de los números reales que utilice un conjunto tan simple para dotarlo de la estructura del sistema de números reales. Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
ManuelSchneid3r
Puntos
116
Si tomamos los racionales como dados (o construirlos sin usar un procedimiento de cociente - ver mi comentario más abajo), entonces el Corte Dedekind la construcción, creo que hace lo que quieres.
Un número real, la idea es, $^*$ se caracteriza completamente por la forma en que "corta" la recta numérica en dos partes. Este corte está completamente determinado por los racionales que terminan en cada lado, y a la inversa, cada partición "razonable" de los racionales corresponde a un número real (esto es el integridad de los reales). Esto motiva la siguiente definición:
A Corte Dedekind es un par $(A, B)$ de conjuntos no vacíos de racionales tales que cada elemento de $A$ es menor que cada elemento de $B$ , $A$ no tiene ningún elemento mayor, y $A\cup B=\mathbb{Q}$ .
La intuición aquí es que $(A, B$ ) es el único número real "entre" $A$ y $B$ . Por ejemplo, el corte $(A_\pi, B_\pi)$ correspondiente a $\pi$ tiene $3, 3.1, 3.14, ...\in A_\pi$ y $4, 3.2, 3.15, ...\in B_\pi$ .
La asimetría entre $A$ y $B$ - donde $A$ no debe tener un elemento mayor, sino $B$ se permite tener un elemento mínimo - es para acomodar los racionales. El corte correspondiente a ${1\over 2}$ necesita poner ${1\over 2}$ en un lado o en otro; hemos decidido arbitrariamente que en esta situación pondremos ${1\over 2}$ a la derecha (el $B$ -lateral).
No es necesario tomar clases de equivalencia en este enfoque: dado cualquier número real $r$ Hay un único El corte Dedekind correspondiente, a saber $$Cut_r=(\{p\in\mathbb{Q}: p<r\},\{q\in\mathbb{Q}: q\ge r\}).$$ La estructura aritmética básica sobre los reales se "traslada" sin mayor dificultad; por ejemplo, la ordenación viene dada por $$(A_1, B_1)\le (A_2, B_2)\iff A_1\subseteq A_2.$$ Dicho esto, la construcción de la secuencia de Cauchy de los reales permite un desarrollo mucho más fácil de la aritmética; mi punto aquí es sólo que no serio La dificultad surge con los cortes.
Obsérvese que la noción de corte Dedekind, aunque es geométricamente agradable, es algo redundante. También podríamos trabajar simplemente con el "lado derecho" de un corte:
A medio corte (esta no es la terminología estándar) $C$ es un subconjunto propio no vacío y cerrado hacia arriba de $\mathbb{Q}$ .
La idea es que los verdaderos asociados a $C$ es su mayor límite inferior .
$^*$ Personalmente, creo que el ensayo original de Dedekind hace un magnífico trabajo de motivación de la idea, y sigue siendo mi construcción favorita de los reales. La construcción de los reales como clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy tiene muchas ventajas sobre ella -en particular, definir las operaciones aritméticas básicas es más fácil con ellas que con los cortes-, pero realmente encuentro que los cortes de Dedekind tienen mucho valor estético. Y más adelante, acaban siendo bastante importantes y útiles en lógica.
