Encontrar las raíces de una ecuación absoluta

Question

No estoy seguro de cómo resolver la siguiente ecuación para $x$

$2|x(x-x_0)|-|x(x-2x_0)|-|(x-2x_0)(x-x_0)|=0$

Donde $x_0$ es un número real

Answer 1

Sugerencia: Cuando se resuelven ecuaciones involucradas en el valor absoluto, lo más probable es que haya que separar la ecuación original en varias ecuaciones cuando se trata de dominios diferentes, de modo que se puedan eliminar las barras de valor absoluto y seguir el proceso habitual de resolución de ecuaciones.

Los dominios serían $x \gt 0$ , $0 \ge x \gt x_0$ , $x - x_0 \ge x \gt x - 2 x_0$ , $x \ge x - 2 x_0$ .

Recuerda la comprobación si la respuesta es contradictoria con las restricciones del dominio. Si lo es, significa que no existe ninguna solución para ese dominio.

Answer 2

La única manera de resolver este tipo de cuestiones es tomar casos en posición de $x$ y empezar a quitar el valor absoluto.

Ejemplo:

Si: $x>x_0$ && $x<2x_0$

$=> 2x(x-x_0)-x(2x_0-x)-(x-x_0)(2x_0-x)=0$

Resolver esto y ver si la solución se encuentra entre las condiciones especificadas.. o bien rechazar la solución y comprobar el siguiente caso.