Demostrar que el cerrado $n$ -bola $B^n(a)$ es un colector

Question

Demostrar que el cerrado $n$ -bola $B^n(a)$ es un colector.

Sé cómo demostrar que $S^{n-1}(a)=\partial B^n(a)$ es un $n-1$ colector sin límite. Consideramos la función $f(x)=a^2-\Vert x\Vert ^2$ . Y el balón abierto $B^n(a)$ es trivialmente un $n$ -de la Tierra, ya que es abierta en $\mathbb R^n$ . ¿Pero qué pasa con la bola cerrada? No puedo utilizar la misma función que para $S^{n-1}(a)$ porque $\det Df(0)=0$ Así que tenemos un problema. ¿Alguna idea sobre cómo solucionarlo?

Answer 1

Para ello, hay que demostrar que cada punto $x \in B^n(a)$ tiene un barrio $U$ que es homeomorfo a un subconjunto abierto de $\mathbb{H}^n = \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_n \geq 0\}$ . Este es el espacio de la mitad superior , y tiene límite $\{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_n = 0\}$ . Los puntos $x$ que se mapean en el límite de $\mathbb{H}^n$ por el homeomorfismo descrito anteriormente forman el frontera del colector.

Ya que claramente cada punto $x$ en el interior de $B^n(a)$ tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb{H}^n$ (sólo con, por ejemplo, trasladar una pequeña bola alrededor de $x$ hacia arriba, de modo que ahora se encuentra en el semiplano superior).

Así que la única cuestión es mostrar que cada punto de la frontera $S^{n - 1}$ tiene una vecindad abierta homeomórfica a una vecindad abierta de $\mathbb{H}^n$ . Esto puede hacerse "enderezando el límite" de la esfera. Para ello, intente utilizar la proyección estereográfica (véase https://www.physicsforums.com/threads/closed-ball-is-manifold-with-boundary.744620/ ).

Probablemente sería útil hacer esto en 2 dimensiones primero; el paso de generalización debería ser casi idéntico.